Question

如圖，L₁，L₂，L₃是同一平面內(nèi)的三條平行直線，L₁與L₂間的距離是1，L₂與L₃間的距離是2，正三角形ABC的三頂點分別在L₁，L₂，L₃上，求△ABC的邊長．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意作高AE，BG，CF（如圖1）．根據(jù)等邊三角形及直角三角形的性質(zhì)，設(shè)AD=x，則AC=3x，于是DG=，BG=•3x=x．根據(jù)三角形相似根據(jù)其相似比可求出DF，DE的長，再根據(jù)勾股定理即可解答．
解答：解：解法一：作高AE，BG，CF（如圖1）．
設(shè)AD=x，則AC=3x，于是DG=，BG=•3x=x．
由Rt△BDG∽Rt△CDF，
∴=，即=，
∴DF=，
∴DE=，因此AD²=AE²+DE²=1+=，
∴AD=，
∴AC=3x=3×=．

解法二：如圖2，過A，C作AE，CF垂直于L₂，點E，F(xiàn)是垂足，
將Rt△BCF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°至Rt△BAD處，延長DA交L₂于點G．
由作圖可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．
在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．
∴BD=．
在Rt△ABD中，AB==．

解法三：如圖3，設(shè)點B關(guān)于L₃的對稱點是E，連接AE，CE，延長EB交L₁于點G，則CE=CB，
∵CA=CB，
∴點A，B，E在以C為圓心，CA為半徑的圓上，
∴∠AEB=∠ACB=30°，設(shè)AG=x，
在Rt△AEG中，AE=2x，而GE=5，
∴4x²=x²+25，得x²=．
在Rt△ABG中，
∵AB²=BG²+AG²=1+，
∴AB=．
點評：此題比較復雜，結(jié)合了平行線的性質(zhì)，等腰三角形，直角三角形的性質(zhì)，是一道具有一定綜合性的好題．