Question

（2005•濰坊）如圖，AD是△ABC的角平分線，延長(zhǎng)AD交△ABC的外接圓O于點(diǎn)E，過(guò)C、D、E三點(diǎn)的圓O₁交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接EF、DF．
（1）求證：△AEF∽△FED；
（2）若AD=6，DE=3，求EF的長(zhǎng)；
（3）若DF∥BE，試判斷△ABE的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過(guò)證兩組對(duì)應(yīng)角相等來(lái)證兩三角形相似．
（2）根據(jù)（1）中得出的相似三角形即可得出AE，DE，EF這三條線段的比例關(guān)系，有了AD，DE的長(zhǎng)，即可求出EF的值．
（3）可通過(guò)證角的關(guān)系來(lái)得出三角形的形狀．
解答：（1）證明：連接兩圓的相交弦CE，
在圓O₁中，∠EFD=∠DCE，
在圓O中，∠BAE=∠DCE，
∴∠EFD=∠BAE．
∵AE是∠BAC角平分線，
∴∠BAE=∠CAE．
∴∠CAE=∠EFD．
∵∠AEF=∠FED，
∴△AEF∽△FED．

（2）解：∵△AEF∽△FED，
∴．
∴EF²=AE•DE=（AD+DE）•DE=（6+3）×3=27，
∴EF=3．

（3）解：△ABE為等腰三角形．理由如下：
∵ABCE是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠FCE=∠ABE．
∵DF∥BE，∠FDE=∠AEB，
又∵∠FCE=∠EDF，
∴∠AEB=∠ABE．
∴△ABE為等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．根據(jù)圓周角得出相關(guān)的角相等是解題的關(guān)鍵．