【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜邊AB 所在直線為x軸,以斜邊AB上的高所在直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,若OA2+OB2= 17, 且線段OA、OB的長度是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的兩個(gè)根.
(1)求C點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)以斜邊AB為直徑作圓與y軸交于另一點(diǎn)E,求過A、B、E 三點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式,并畫出此拋物線的草圖.
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△ABP與△ABC全等?若存在,求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1)C(0,2);(2)y=.(3)(0,-2)和(3,-2)
【解析】本題是二次函數(shù)與圓以及全等三角形相結(jié)合的題目,難度較大
(1)線段OA、OB的長度是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的兩個(gè)根.根據(jù)韋達(dá)定理就可以得到關(guān)于OA,OB的兩個(gè)式子,再已知OA2+OB2=17,就可以得到一個(gè)關(guān)于m的方程,從而求出m的值.求出OA,OB.根據(jù)OC2=OAOB就可以求出C點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)由第一問很容易求出A,B的坐標(biāo).連接AB的中點(diǎn),設(shè)是M,與E,在直角△OME中,根據(jù)勾股定理就可以求出OE的長,得到E點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式;
(3)E點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn).同時(shí)C,E關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)也是滿足條件的點(diǎn).
解:(1)線段OA,OB的長度是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)="0" 的兩個(gè)根,
∴
又∵OA2+OB2=17,∴(OA+OB)2-2·OA·OB=17.③
把①,②代入③,得m2-4(m-3) =17,∴m2-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5.
又知OA+OB=m>0,∴m=-1應(yīng)舍去.
∴當(dāng)m=5時(shí),得方程:x2-5x+4=0,解之,得x=1或x=4.
∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB,
∴OC2=OA·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2)
(2)∵OA=1,OB=4,C,E兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱,
∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).
設(shè)經(jīng)過A,B,E三點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式為
y=ax2+bx+c,則,解之,得
∴所求拋物線關(guān)系式為y=.
(3)存在.∵點(diǎn)E是拋物線與圓的交點(diǎn).
∴Rt△ACB≌Rt△AEB,∴E(0,-2)符合條件.
∵圓心的坐標(biāo)(,0 )在拋物線的對稱軸上.
∴這個(gè)圓和這條拋物線均關(guān)于拋物線的對稱軸對稱.
∴點(diǎn)E關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)E′也符合題意.
∴可求得E′(3,-2).
∴拋物線上存在點(diǎn)P符合題意,它們的坐標(biāo)是(0,-2)和(3,-2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某批發(fā)商計(jì)劃將一批海產(chǎn)品由A地運(yùn)往B地.汽車貨運(yùn)公司和鐵路貨運(yùn)公司均開辦海產(chǎn)品運(yùn)輸業(yè)務(wù).已知運(yùn)輸路程為120千米,汽車和火車的速度分別為60千米/時(shí)、100千米/時(shí).兩貨運(yùn)公司的收費(fèi)項(xiàng)目及收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表所示:
運(yùn)輸工具 | 運(yùn)輸費(fèi)單價(jià)/ (元/噸·千米) | 冷藏費(fèi)單價(jià)/ (元/噸·小時(shí)) | 過路費(fèi)/元 | 裝卸及管理費(fèi)/元 |
汽 車 | 2 | 5 | 200 | 0 |
火 車 | 1.8 | 5 | 0 | 1600 |
注:“元/噸·千米”表示每噸貨物每千米的運(yùn)費(fèi);“元/噸·小時(shí)”表示每噸貨物每小時(shí)的冷藏費(fèi).
(1)設(shè)該批發(fā)商待運(yùn)的海產(chǎn)品有x(噸),汽車貨運(yùn)公司和鐵路貨運(yùn)公司所要收取的費(fèi)用分別為y1(元)和y2(元),試求y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)若該批發(fā)商待運(yùn)的海產(chǎn)品不少于30噸,為節(jié)省運(yùn)費(fèi),他應(yīng)選擇哪個(gè)貨運(yùn)公司承擔(dān)運(yùn)輸業(yè)務(wù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,自行車每節(jié)鏈條的長度為2.5cm,交叉重疊部分的圓的直徑為0.8cm.
(1)觀察圖形填寫下表:
鏈條節(jié)數(shù)(節(jié)) | 2 | 3 | 4 |
鏈條長度(cm) |
|
|
|
(2)如果x節(jié)鏈條的總長度是y,求y與x之間的關(guān)系式;
(3)如果一輛某種型號自行車的鏈條(安裝前)由80節(jié)這樣的鏈條組成,那么這根鏈條完成鏈接(安裝到自行車上)后,總長度是多少cm?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀材料:
關(guān)于,的二元一次方程有一組整數(shù)解則方程的全部整數(shù)解可表示為(為整數(shù)).
問題:求方程的所有正整數(shù)解.
小明參考閱讀材料,解決該問題如下:
解:該方程一組整數(shù)解為則全部整數(shù)解可表示為(為整數(shù)).
因?yàn)?/span>解得.因?yàn)?/span>為整數(shù),所以0或.
所以該方程的正整數(shù)解為和.
請你參考小明的解題方法, 完成下面的問題:
(1)方程的全部正整數(shù)解為______________;
(2)方程的全部整數(shù)解表示為: (為整數(shù));
(3)方程的正整數(shù)解有多少組? 請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】王老師家買了一套新房,其結(jié)構(gòu)如圖所示(單位:m).他打算將臥室鋪上木地板,其余部分鋪上地磚.
(1)木地板和地磚分別需要多少平方米?
(2)如果地磚的價(jià)格為每平方米x元,木地板的價(jià)格為每平方米3x元,那么王老師需要花多少錢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)D、F、E、G都在△ABC的邊上,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°,求∠AGD的度數(shù).(請?jiān)谙旅娴目崭裉幪顚懤碛苫驍?shù)學(xué)式)
解:∵EF∥AD,(已知)
∴∠2= ( )
∵∠1=∠2,(已知)
∴∠1= ( )
∴ ∥ ,( )
∴∠AGD+ =180°,(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))
∵ ,(已知)
∴∠AGD= (等式性質(zhì))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線CD與EF相交于點(diǎn)O,∠COE=60°,將一直角三角尺AOB的直角頂點(diǎn)與O重合,OA平分∠COE.
(1)求∠BOD的度數(shù);
(2)將三角尺AOB以每秒3°的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),同時(shí)直線EF也以每秒9°的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒(0≤t≤40).
①當(dāng)t為何值時(shí),直線EF平分∠AOB;
②若直線EF平分∠BOD,直接寫出t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某商場為了吸引顧客,設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤,并規(guī)定:每購買500元商品,就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機(jī)會,如果轉(zhuǎn)盤停止后,指針上對準(zhǔn)500、200、100、50、10的區(qū)域,顧客就可以獲得500元、200元、100元、50元、10元的購物券一張(轉(zhuǎn)盤等分成20份)。
(1)小華購物450元,他獲得購物券的概率是多少?
(2)小麗購物600元,那么:
① 她獲得50元購物券的概率是多少?
② 她獲得100元以上(包括100元)購物券的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出y=x2,y=x2-1的圖象.
(1)分別指出它們的開口方向、對稱軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)拋物線y=x2-1與拋物線y=x2有什么關(guān)系?
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