Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底邊QR=6cm，點(diǎn)B、C、Q、R在同一直線l上，且C、Q兩點(diǎn)重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直線l箭頭所示方向勻速運(yùn)動(dòng)，t秒時(shí)梯形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積記為S平方厘米
（1）求∠DCB的度數(shù)及梯形ABCD與△PQR的高？
（2）當(dāng)t=4時(shí)，求S的值；
（3）當(dāng)4≤t≤10，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作輔助線：過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD，AF⊥BC于F，即可求得：四邊形ADCE是平行四邊形，利用等腰梯形與平行四邊形的性質(zhì)，即可求得AB=AE=BE，則可求得∠B的度數(shù)，由三角函數(shù)即可求得梯形ABCD的高的值；在等腰三角形PQR中，由三線合一與三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得△PQR的高；
（2）首先判定當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)Q重合，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，則求△BDC的面積即可；
（3）分別從4≤x＜6與6≤x≤10去分析，求得各自的函數(shù)解析式，再分析各種情況下的最大值即可求得答案．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD，AF⊥BC于F，
∵AD∥BC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴EC=AD=2cm，AE=CD=2cm，
∴BE=BC-EC=4-2=2（cm），
∵AB=2cm，AE=2cm，
∴AB=AE=BE，
∴∠B=60°；
∴sin∠B=sin60°==，
∴AF=cm，
∴梯形ABCD的高為cm；
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥QR于G，
∵PQ=PR，
∴∠QPG=∠QPR=×120°=60°，QG=QR=×6=3cm，
∴tan∠QPG=tan60°==，
∴PG=cm，
∴△PQR的高為cm；

（2）當(dāng)t=4時(shí)，CQ=4cm，
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，
∵AE=DF=cm，∠AEB=∠DFC=90°，AB=CD，
∴△ABE≌△DFC，
∴BE=CF，
∵EF=AD=2cm，BC=4cm，
∴BE=CF=1cm，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，
∴S_△BDC=BC•DF=×4×=2（cm²）；

（3）當(dāng)4≤x＜6時(shí)，P在線段AD上，作KH⊥QR，
∵∠Q=30°，∠1=60°，
∴∠2=∠1-∠Q=30°，
∠3=∠2=30°，
∴QB=BM=QC-BC=t-4，
∵∠R=∠Q=30°，∠DCB=∠ABC=60°，
∴∠CKR=∠DCB-∠R=30°=∠R，
∴KC=CR=6-t，
∴HK=KC sin60°=（6-t）
∴同理：MN=（t-4），
∴S=S_△PQR-S_△BQM-S_△CRK=QR•PG-BQ•EM-CR•FN
=×6×-×（t-4）²-×（6-t）²
=-t²+5t-10，
∵a=-＜0，開口向下，
∴S有最大值，
當(dāng)t=-=5時(shí)，S最大值為；
當(dāng)6≤x≤10時(shí)，P在線段DA的延長(zhǎng)線上，
∵∠1=60°，∠2=30°，
∴∠3=90°
∴RC=t-6，BR=4-RC=4-（t-6）=10-t，
∴TB=BR=，TR=BR=（10-t），
∴S=TB•TR=××（10-t）=t²-t+，
當(dāng)a＞0時(shí)，開口向上，-=10，
∴t=6時(shí)，S最大值為2；
綜上，t=5時(shí)，S最大值為．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形，等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，以及二次函數(shù)等知識(shí)．此題屬于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．