Question

16．如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，直徑AB左側(cè)的半圓上有一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)E（不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)EB、ED．
（1）如果∠CBD=∠E，求證：BC是⊙O的切線；
（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到ED連線經(jīng)過點(diǎn)O的，試證明：△EDB≌△ABD．

Answer 1

分析 （1）欲證明BC是⊙O的切線，只需證得BC⊥AB即可；
（2）利用圓周角定理，全等三角形的判定定理AAS證得當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到DE經(jīng)過點(diǎn)O位置時(shí)，△EDB≌△ABD．

解答 證明：（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
即∠ABD+∠BAD=90°．
又∵∠CBD=∠E，∠BAD=∠E，
∴∠ABD+∠CBD=90°，即∠ABC=90°．
∴BC⊥AB．
∴BC是⊙O的切線．

（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到DE經(jīng)過點(diǎn)O位置時(shí)，△EDB≌△ABD．證明如下：
當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到DE經(jīng)過點(diǎn)O位置時(shí)，∠EBD=∠ADB=90°，
在△EDB與△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠ADB}\\{∠ABD=∠E}\\{BD=DB}\end{array}\right.$，
∴△EDB≌△ABD（AAS）．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及圓周角定理定理的運(yùn)用．