Question

△ABC中，射線AD平分∠BAC，AD交邊BC于E點．

（1）如圖1，若AB=AC，∠BAC=90°，則

AB

AC

 

BE

EC

；
（2）如圖2，若AB≠AC，則（1）中的結論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）如圖3，若AB＞AC，∠BAC=∠BDC=90°，∠ABD為銳角，DH⊥AB于H，則線段AB、AC、BH之間的數(shù)量關系是

 

，并證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的在可以直接得出

AB

AC

=

BE

EC

；
（2）作EH⊥AB于H，EQ⊥AC于Q，AN⊥BC于N，根據(jù)角平分線的性質可以得出EH=EQ，由三角形的面積相等就可以求出結論；
（3）作DQ⊥AC交AC的延長線于Q，則DH=DQ，證△AHD≌△AQD，得AH=AQ，再證△DHB≌△DQC，得BH=CQ，有AB-BH=AC+CQ（BH），AB-AC=2BH．

解答：解：（1）∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BE=CE．
∴

BE

CE

=1．
∵AB=AC，
∴

AB

AC

=1，
∴

AB

AC

=

BE

EC

．
故答案為：=；
（2）成立，
證明：作EH⊥AB于H，EQ⊥AC于Q，AN⊥BC于N，則EH=EQ，設AB=c，AC=b，BE=m，EC=n，EH=h₁，AN=h₂，
∵S△ABE：S△AEC=

1

2

h₁c÷

1

2

h₁b=c：b，S△ABE：S△AEC=

1

2

h₂m÷

1

2

h₂n=m：n，
∴c：b=m：n，
即

AB

AC

=

BE

EC

；
（3）AB-AC=2BH．
理由：作DQ⊥AC交AC的延長線于Q，
∴∠Q=90°
∵DH⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DH=DQ，∠AHD=90°，∠HAD=∠CAD．
∴∠AHD=∠Q．
在△AHD和△AQD中，

∠HAD=∠CAD ∠AHD=∠Q HD=QD

，
∴△AHD≌△AQD（AAS），
∴AH=AQ．
∵∠BAC=90°，∠AHD=∠Q=90°，
∴四邊形AHDQ是矩形，
∴∠HDQ=90°．
∵∠BDC=90°，
∴∠HDQ=∠BDC，
∴∠HDQ-∠HDC=∠BDC=∠HDC，
∴∠CDQ=∠BDH．
在△DHB和△DQC中

∠BDH=∠CDQ ∠BHD=∠CQD DH=DQ

∴△DHB≌△DQC（AAS），
∴BH=CQ，
∵AB-BH=AH，
∴AB-BH=AQ，
∴AB-BH=AC+CQ，
∴AB-AC=2BH．
故答案為：AB-AC=2BH．

點評：本題考查了等腰三角形的性質的運用，角平分線的性質的運用，等式的性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．