Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a（x-2）²-1圖象的頂點(diǎn)為P，與x軸交點(diǎn)為A、B，與y軸交點(diǎn)為C，連接BP并延長交y軸于點(diǎn)D．
（1）寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）連接AP，如果△APB為等腰直角三角形，求a的值及點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接BC、AC、AD，點(diǎn)E（0，b）在線段CD（端點(diǎn)C、D除外）上，將△BCD繞點(diǎn)E逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到一個新三角形．設(shè)該三角形與△ACD重疊部分的面積為S，根據(jù)不同情況，分別用含b的代數(shù)式表示S，選擇其中一種情況給出解答過程，其它情況直接寫出結(jié)果；判斷當(dāng)b為何值時，重疊部分的面積最大寫出最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式解析式可得出P的坐標(biāo)為（2，-1）．
（2）如果△APB是等腰直角三角形，那么根據(jù)P的縱坐標(biāo)不難得出AB=2，根據(jù)對稱軸x=2可得出A，B的坐標(biāo)分別為（1，0）（3，0）．然后可根據(jù)A，B的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．也就能得出a的值和C點(diǎn)的坐標(biāo)．
求D點(diǎn)坐標(biāo)時，可根據(jù)∠ABP=45°，即三角形OBD是等腰直角三角形來解．此時OB=OD，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值就是D點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值，由此可得出D的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)后A在C′D′上時，E點(diǎn)和O重合此時b=0；當(dāng)旋轉(zhuǎn)后A在B′D′上時，此時可求得OE=1，即b=-1．因此可分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)0≤b＜3時，旋轉(zhuǎn)后的△B′C′D′與△ACD的重疊部分是個三角形，如果設(shè)C′D′與AC交于M，那么重疊部分就是△CEM的面積．可先求出EM的長，然后再根據(jù)三角形的面積公式得出S，b的函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)-1＜b＜0時，旋轉(zhuǎn)后的△B′C′D′與△ACD的重疊部分是五邊形，由于五邊形不是規(guī)則的圖形，因此可先根據(jù)AC，D′B′，AD的直線的解析式求出旋轉(zhuǎn)后得出的三角形與ACD的各邊的交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)其他規(guī)則圖形的面積的“和，差”關(guān)系來求出五邊形的面積，即可得出S，b的函數(shù)關(guān)系式．
③當(dāng)-3＜b≤-1時，旋轉(zhuǎn)后的△B′C′D′與△ACD的重疊部分為四邊形，可仿照②的解法求出此時S，b的函數(shù)關(guān)系式．
綜上所述可得出b的不同取值范圍內(nèi)，S，b的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)得出的函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值．

解答：解：（1）P（2，-1）

（2）因?yàn)椤鰽PB為等腰直角三角形，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）
所以AB=2，
所以A（1，0），B（3，0）
將A點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=a（x-2）²-1得：
0=a（1-2）²-1，
所以a=1
所以二次函數(shù)為：y=x²-4x+3
所以C（0，3），
所以O(shè)C=OB，∠OBC=45°
又因?yàn)椤螦BP=45°，
所以∠CBD=90°，∠BCO=45°，
所以△BCD為等腰直角三角形，
所以D（0，-3）；

（3）①當(dāng)0≤b＜3時，旋轉(zhuǎn)后的△B′C′D′與△ACD的重疊部分為△CEM．

因?yàn)镃E=C’E，
所以C點(diǎn)恰好在直線B′C′上，
CE=3-b，AC直線方程為：y=3-3x，
E（0，b）所以EM=

3-b

3

所以重疊部分△CEM的面積為：
S=

1

2

×（3-b）×

3-b

3

=

(3-b)2

6

（0≤b＜3）；
②當(dāng)-1＜b＜0時，旋轉(zhuǎn)后的△B′C′D′與△ACD的重疊部分為五邊形EMANQ，
因?yàn)镋D=ED′=EQ，
所以D’點(diǎn)恰好在直線BD上，DE=EQ=3+b，
所以Q（0，3+2b），D′（3+b，b），
CQ=3-（3+2b）=-2b，
AC直線方程為：y=3-3x，
AD直線方程為：y=3x-3，
D’Q直線方程為：y=3+2b-x，
所以EM=

3+b

3

，N（-b，3+3b）
所以重疊部分五邊形EMANQ的面積為：
S=S_△ACD-S_△CQN-S_△EMD
=

1

2

×6×1-

1

2

×（-2b）×（-b）-

1

2

×（3+b）×

3+b

3

=-

7b2

6

-b+

3

2

（-1＜b＜0）；
③當(dāng)-3＜b≤-1時，旋轉(zhuǎn)后的△B’C’D’與△ACD的重疊部分為四邊形EMNQ；
因?yàn)镋D=ED’=EQ，
所以D′點(diǎn)恰好在直線BD上，DE=EQ=3+b，
所以Q（0，3+2b），D′（3+b，b），
DQ=（3+2b）-（-3）=6+2b，
AD直線方程為：y=3x-3，
D′Q直線方程為：y=3+2b-x，
所以EM=

3+b

3

，N（

3+b

2

，

3(1+b)

2

），
所以重疊部分四邊形EMNQ的面積為：
S=S_△DNQ-S_△EMD=

1

2

×(6+2b)×

3+b

2

-

1

2

×(3+b)×

3+b

3

=

(3+b)2

3

（-3＜b≤1），
所以重疊部分的面積為：S=

(3-b)2 6 (0≤b＜3) - 7b2 6 -b+ 3 2 (-1＜b＜0) (3+b)2 3 (-3＜b≤-1)

，
當(dāng)0≤b＜3時，b=0時，S最大，且S最大=

3

2

，
當(dāng)-1＜b＜0時，S=-

7b2

6

-b+

3

2

=--

7

6

(b+

3

7

)2+

12

7

，
b=-

3

7

時，S最大，且S最大=

12

7

，
當(dāng)-3＜b≤-1時，b=-1時，S最大，且S最大=

4

3

，
綜上所述：當(dāng)b=-

3

7

時，S最大=

12

7

．

點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．