Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，點(diǎn)E、F分別是邊AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，DG的長(zhǎng)始終為2；
（1）當(dāng)AD=3時(shí)，求DE的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在邊AC、BC上移動(dòng)時(shí)，設(shè)AD=x，F(xiàn)G=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；
（3）在點(diǎn)E、F移動(dòng)過(guò)程中，△AED與△CEF能否相似，若能，求AD的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠ACB=90°，AB=10，AC=6
∴BC=8
∵ED⊥AB∴∠ADE=∠ACB=90°
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB
∴∴
∴DE=4

（2）∵FG⊥AB∴∠BGF=∠BCA=90°
又∵∠B=∠B
∴△BGF∽△BCA
∴∴
∴（）

（3）由（1）（2）可得：，
∴，
當(dāng)∠A=∠CEF時(shí)，，解得：；
當(dāng)∠A=∠CFE時(shí)，，解得：；
∴當(dāng)AD的長(zhǎng)為或，△AED與△CEF相似．
分析：（1）根據(jù)勾股定理先求出BC的長(zhǎng)，再通過(guò)證明△ADE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出DE的長(zhǎng)；
（2）通過(guò)證明△BGF∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）由（1）（2）可得：，，分∠A=∠CEF，∠A=∠CFE兩種情況求出△AED與△CEF相似時(shí)AD的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．