Question

拋物線y=ax²+bx-2經(jīng)過A（4，0），B（1，0）兩點，C點是拋物線與y軸的交點．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）P是拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求出a、b的值，即可得解；
（2）求出點C的坐標，再設點P的橫坐標是m，表示出縱坐標，然后分①點P在點A、B之間，②點P在點A的左邊，③點P在點B的右邊三種情況，分別分兩種情況，利用相似三角形對應邊成比例列式求出m的值，再代入拋物線解析式求出縱坐標，即可得解．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-2經(jīng)過A（4，0），B（1，0）兩點，
∴

16a+4a-2=0 a+b-2=0

，
解得

a=- 1 2 b= 5 2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

5

2

x-2；

（2）存在．
令x=0，則y=-2，
∴點C的坐標為（0，-2），
設點P的橫坐標是m，
則點P的縱坐標為-

1

2

m²+

5

2

m-2，
①點P在點A、B之間時，1＜m＜4，
AM=4-m，PM=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
∵∠COA=∠PMA=90°，
∴當

AM

PM

=

AO

OC

=

4

2

時，△APM∽△ACO，
即4-m=2（-

1

2

m²+

5

2

m-2），
整理得，m²-6m+8=0，
解得m₁=2，m₂=4（舍去），
此時，-

1

2

ײ+

5

2

×2-2=1，
∴點P（2，1）；
當

AM

PM

=

OC

AO

=

2

4

時，△APM∽△CAO，
即2（4-m）=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
整理得，m²-9m+20=0，
解得m₁=4，m₂=5，
都不合題意，舍去；
②點P在點A的左邊時，m＜1，
類似地可求P（-3，-14）；
③點P在點B的右邊時，m＞4，
類似地可求P（5，-2），
綜上所述，符合條件的點P為（2，1）或（-3，-14）或（5，-2）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質，難點在于（2）要分情況討論．