如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角,點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.
解答下列問題:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(與點(diǎn)B不重合),如圖乙,線段CF,BD之間的位置關(guān)系為______,數(shù)量關(guān)系為______.
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線時,如圖丙,①中的結(jié)論是否仍然成立,為什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°,點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動.
試探究:當(dāng)△ABC滿足一個什么條件時,CF⊥BC(點(diǎn)C,F(xiàn)重合除外)畫出相應(yīng)圖形,并說明理由.(畫圖不寫作法)
(3)若AC=2,BC=3,在(2)的條件下,設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P,求線段CP長的最大值.

【答案】分析:(1)可通過證明三角形ABC和三角形ACF全等來實(shí)現(xiàn).因?yàn)锳D=AF,AB=AC,只要證明∠BAD=∠CAF即可,∠BAD=90°-∠DAC=∠FAC,這樣就構(gòu)成了全等三角形判定中的SAS,△ABD≌△ACF,因此BC=CF,∠B=∠ACF,因?yàn)椤螧+∠ACB=90°,那么∠ACF+ACD=90°,即FC⊥BC,也就是FC⊥BD.
(2)可通過構(gòu)建三角形來求解.過點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G,如果CF⊥BD,那么∠ACF=∠AGD=90°-∠ACD,又因?yàn)椤螱AD=∠CAE=90°-∠CAD.AG=AC那么根據(jù)AAS可得出△AGD≌△ACF,AG=AC,又因?yàn)椤螱AC=90°,可得出∠BCA=45°.
因此△BAC滿足∠BCA=45°時,CF⊥BD.
(3)過點(diǎn)A作AQ⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)Q,通過構(gòu)建與線段相關(guān)的三角形相似來求解.
圖中我們可以看出∠ADQ+∠PDC=90°,那么很容易就能得出,∠QAD=∠PDC,那么就能得出直角三角形ADQ∽直角三角形PDC,那么可得出關(guān)于CP、CD、AQ、QD的比例關(guān)系,因?yàn)椤螧CA=45°,∠Q=90°,那么AQ=QC=2,如果設(shè)CD=x,那么可用x表示出CD、QD,又知道AQ的值和CP、CD、QD、AQ的比例關(guān)系,那么可得出關(guān)于CP和x的函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和x的取值范圍求出CP的最大值.
解答:解:(1)①CF與BD位置關(guān)系是垂直,數(shù)量關(guān)系是相等
②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時①的結(jié)論仍成立
由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90度
∵∠BAC=90°,
∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC
又∵AB=AC,
∴△DAB≌△FAC,
∴CF=BD
∠ACF=∠ABD
∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=45°,∴∠ACF=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°.即CF⊥BD.

(2)當(dāng)∠BCA=45°時,CF⊥BD(如圖)
理由是:過點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G,∴AC=AG
可證:△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45°
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
即CF⊥BD.

(3)當(dāng)具備∠BCA=45°時,
過點(diǎn)A作AQ⊥BC交CB的延長線于點(diǎn)Q,(如圖),
∵DE與CF交于點(diǎn)P時,此時點(diǎn)D位于線段CQ上,
∵∠BCA=45°,AC=2,
∴由勾股定理可求得AQ=CQ=2.
設(shè)CD=x,∴DQ=2-x,
∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°
且∠ADE=90°,
∴∠ADQ+∠PDC=90°,
又∵在直角△PCD中,∠PDC+∠DPC=90°
∴∠ADQ=∠DPC,
∵∠AQD=∠DCP=90°
∴△AQD∽△DCP,
=,∴
∴CP=x2+x=(x-1)2+
∵0<x≤,
∴當(dāng)x=1時,CP有最大值
點(diǎn)評:本題中綜合考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定以及函數(shù)關(guān)系式等綜合知識.本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意通過作輔助線來構(gòu)建出和已知,所求等條件相關(guān)的三角形,然后通過相似,全等等知識來求解.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角,點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.
解答下列問題:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(與點(diǎn)B不重合),如圖乙,線段CF,BD之間的位置關(guān)系為
 
,數(shù)量關(guān)系為
 

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線時,如圖丙,①中的結(jié)論是否仍然成立,為什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°,點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動.
試探究:當(dāng)△ABC滿足一個什么條件時,CF⊥BC(點(diǎn)C,F(xiàn)重合除外)畫出相應(yīng)圖形,并說明理由.(畫圖不寫作法)
(3)若AC=4
2
,BC=3,在(2)的條件下,設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P,求線段CP長的最大值.
精英家教網(wǎng)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

27、如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角,點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.解答下列問題:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(與點(diǎn)B不重合),如圖乙,線段CF、BD之間的位置關(guān)系為
垂直
,數(shù)量關(guān)系為
相等

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時,如圖丙,①中的結(jié)論是否仍然成立,為什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動.試探究:當(dāng)△ABC滿足一個什么條件時,CF⊥BC(點(diǎn)C、F重合除外)?并說明理由.
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

24、(1)如圖甲,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,則BD與CD相等嗎?請說明理由;
(2)若將圖甲變?yōu)閳D乙,其他條件不變,則BD與CD仍相等嗎?請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖甲,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線交AB于N,交BC的延長線于M,∠A=40°.
(1)求∠NMB的大�。�
(2)如圖乙,如果將(1)中∠A的度數(shù)改為70°,其余條件不變,再求∠NMB的大�。�
(3)根據(jù)(1)(2)的計(jì)算,你能發(fā)現(xiàn)其中的蘊(yùn)涵的規(guī)律嗎?請寫出你的猜想并證明.
(4)如圖丙,將(1)中的∠A改為鈍角,其余條件不變,對這個問題規(guī)律的認(rèn)識是否需要加以修改?請你把∠A代入一個鈍角度數(shù)驗(yàn)證你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角.點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.如果AB=AC,∠BAC=90°.
解答下列問題:
(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(與點(diǎn)B不重合),如圖甲,線段CF、BD之間的位置關(guān)系為
垂直
垂直
,數(shù)量關(guān)系為
相等
相等

(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時,如圖乙,①中的結(jié)論是否仍然成立,為什么?(要求寫出證明過程)
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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