Question

求|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|+5|x-5|的最小值及此時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值

專題：

分析：分6個(gè)區(qū)域：（1）當(dāng)x≤1，原式=1-x+2（2-x）+3（3-x）+4（4-x）+5（5-x）=55-15x；（2）當(dāng)1＜x≤2時(shí)，原式=x-1+2（2-x）+3（3-x）+4（4-x）+5（5-x）=53-13x；（3）當(dāng)2＜x≤3時(shí)，原式=x-1+2（x-2）+3（3-x）+4（4-x）+5（5-x）=45-9x；（4）當(dāng)3＜x≤4時(shí)，原式=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（4-x）+5（5-x）=27-3x；（5）當(dāng)4＜x≤5時(shí)，原式=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（x-4）+5（5-x）=5x-5；（6）當(dāng)x＞5，原式=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（x-4）+5（x-5）=15x-55；比較最小值，即可求得答案．

解答：解：（1）當(dāng)x≤1，原式=1-x+2（2-x）+3（3-x）+4（4-x）+5（5-x）=55-15x，
則x=1時(shí)，有最小值40；
（2）當(dāng)1＜x≤2時(shí)，原式=x-1+2（2-x）+3（3-x）+4（4-x）+5（5-x）=53-13x，
則x=2時(shí)，有最小值27；
（3）當(dāng)2＜x≤3時(shí)，原式=x-1+2（x-2）+3（3-x）+4（4-x）+5（5-x）=45-9x，
則x=3時(shí)，有最小值18；
（4）當(dāng)3＜x≤4時(shí)，原式=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（4-x）+5（5-x）=27-3x，
則x=4時(shí)，有最小值15；
（5）當(dāng)4＜x≤5時(shí)，原式=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（x-4）+5（5-x）=5x-5，
則y沒有最小值；
（6）當(dāng)x＞5，原式=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（x-4）+5（x-5）=15x-55，
則y沒有最小值；
故當(dāng)x=4時(shí)，|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|+5|x-5|的最小值為15．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了絕對(duì)值的最值問題．此題難度適中，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．