Question

如圖，暑假期間，小明在A處放羊，其家住在B處，A，B兩地到河岸的距離分別為AC、BD，且AC=BD，A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為300米．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中作出小明從A處把羊趕到河邊飲水后回家，所走的最短路程；
（2）他所走的最短路程是______米．

Answer 1

解：（1）作點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交CD于M．
則點(diǎn)M為飲水處，線段A′B的長(zhǎng)度即為小明從A處把羊趕到河邊飲水后回家，所走的最短路程；

（2）連接AM．
∵點(diǎn)A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)是A′，點(diǎn)M在CD上，
∴A′C=AC，A′M=AM．
∵AC=DB，
∴A′C=BD．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACD=∠A′CD=∠BDC=90°．
在△CA′M和△DBM中，
，
∴△CA′M≌△DBM（AAS），
∴A′M=BM，CM=DM，
∴M為CD中點(diǎn)，
∴BM=AM=300米，
∴A′B=A′M+BM=AM+BM=600米．
故答案為600．
分析：（1）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于河岸CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B與CD相交于M，則小明從A處把羊趕到河邊飲水再回家，最短距離是A′B的長(zhǎng)；
（2）先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出CA′=AC，A′M=AM，再利用AAS證明△CA′M≌△DBM，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為300米，即可求出A′B的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，解答時(shí)要注意應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)及“兩點(diǎn)之間線段最短”作出飲水處M點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．