Question

（2012•宿遷）已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若AC⊥BD，且AC≠BD，則四邊形EFGH的形狀是

矩形

（填“梯形”“矩形”或“菱形”）

Answer 1

分析：四邊形EFGH為矩形，理由為：由E和H分別為AB與AD的中點(diǎn)，得到EH為三角形ABD的中位線(xiàn)，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到HE平行于BD且等于BD的一半，同理GF為三角形BCD的中位線(xiàn)，得到GF平行于BD且等于BD的一半，可得出HE與GF平行且相等，得到四邊形EFGH為平行四邊形，同理得到HM平行于ON，HN平行于OM，得到四邊形HMON為平行四邊形，又AC與BD垂直得到∠MON為直角，可得出HMON為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠EHG為直角，可得出四邊形EFGH為矩形．

解答：解：四邊形EFGH的形狀是矩形，理由為：
根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示：
∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，
∴EH為△ABD的中位線(xiàn)，F(xiàn)G為△BCD的中位線(xiàn)，
∴EH=

1

2

BD，EH∥BD，F(xiàn)G=

1

2

BD，F(xiàn)G∥BD，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
又HG為△ACD的中位線(xiàn)，
∴HG∥AC，又HE∥BD，
∴四邊形HMON為平行四邊形，
又AC⊥BD，即∠AOD=90°，
∴四邊形HMON為矩形，
∴∠EHG=90°，
∴四邊形EFGH為矩形．
故答案為：矩形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形的中位線(xiàn)定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線(xiàn)定理是解本題的關(guān)鍵．