Question

已知線段AB及點C，在線段AB上任取一點Q，線段CQ長度的最小值稱為點C到線段AB的準距離．

（1）如圖1，已知M，N點的坐標分別為（2，0），（4，0），則點P（1，1）到線段MN的準距離是______．
（2）如圖2，已知點G到線段OE：y=x（0≤x≤3）的準距離為，且點G的橫坐標為1，試求點G的縱坐標．

Answer 1

解：（1）過P作PC⊥x軸，連接PM，
∵P（1，1），
∴PC=CM=1，
根據勾股定理得：PM=，
則點P（1，1）到線段MN的準距離是；

（2）在坐標平面內作出線段DE：y=x（0≤x≤3）．
∵點G的橫坐標為1，
∴點G在直線x=1上，設直線x=1交x軸于點H，交DE于點K，
①如圖2所示，過點G₁作G₁F⊥DE于點F，則G₁F就是點G₁到線段DE的準距離，
∵線段DE：y=x（0≤x≤3），
∴△G₁FK，△DHK均為等腰直角三角形，
∵G₁F=，
∴KF=，由勾股定理得G₁K=2，
又∵KH=OH=1，
∴HG₁=3，即G₁的縱坐標為3；
②如圖2所示，過點O作G₂O⊥OE交直線x=1于點G₂，由題意知△OHG₂為等腰直角三角形，
∵OH=1，
∴G₂O=，
∴點G₂同樣是滿足條件的點，
∴點G₂的縱坐標為-1，
綜上，點G的縱坐標為3或-1．
故答案為：．
分析：（1）過P作x軸垂線，垂足為C，連接PM，可得出PC=CM=1，利用勾股定理求出PM的長，即為點P（1，1）到線段MN的準距離；
（2）在坐標平面內作出線段DE：y=x（0≤x≤3），點G的橫坐標為1，點G在直線x=1上，設直線x=1交x軸于點H，交DE于點K，分兩種情況考慮：①如圖2所示，過點G₁作G₁F⊥DE于點F，則G₁F就是點G₁到線段DE的準距離，根據三角形GKF與三角形OKH都為等腰直角三角形，且OH=1，求出KH的長，由準距離GF為，求出GK的長，根據GK+KH求出GH的長，即為G₁的縱坐標；②如圖2所示，過點O作G₂O⊥OE交直線x=1于點G₂，由題意知△OHG₂為等腰直角三角形，由OH的長求出HG₂的長，即為G₂的縱坐標，綜上，得到所有滿足題意G的縱坐標．
點評：此題考查了一次函數綜合題，涉及的知識有：垂選段最短，等腰直角三角形的性質，勾股定理，坐標與圖形性質，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．