【題目】如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng),那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”.

(1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)畫一個(gè)“好玩三角形”;

(2)如圖1,在RtABC中,C=90°,tanA= ,求證:ABC是“好玩三角形”;

(3)如圖2,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,ABC=2β,點(diǎn)P,Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā),以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),記點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程為s.

當(dāng)β=45°時(shí),若APQ是“好玩三角形”,試求的值;

當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi),點(diǎn)P,Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,有且只有一個(gè)APQ能成為“好玩三角形”.請(qǐng)直接寫出tanβ的取值范圍.

(4)依據(jù)(3)的條件,提出一個(gè)關(guān)于“在點(diǎn)P,Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,tanβ的取值范圍與APQ是‘好玩三角形’的個(gè)數(shù)關(guān)系”的真命題(“好玩三角形”的個(gè)數(shù)限定不能為1)

【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)見(jiàn)解析 (3) <tanβ<2

(4)在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)0<tanβ<時(shí),使得△APQ成為“好玩三角形”的個(gè)數(shù)為2.

【解析】解:(1)如圖1,

作一條線段AB,

作線段AB的中點(diǎn)O,

以點(diǎn)O為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫圓,

在圓O上取一點(diǎn)C(點(diǎn)E、F除外),連接AC、BC.

∴△ABC是所求作的三角形.

(2)如圖2,

取AC的中點(diǎn)D,連接BD.

∵∠C=90°,tanA= ,

設(shè)BC= x,則AC=2x,

D是AC的中點(diǎn),

CD= AC=x

BD= = =2x,

AC=BD

∴△ABC是“好玩三角形”;

(3)當(dāng)β=45°,點(diǎn)P在AB上時(shí),

∴∠ABC=2β=90°,

∴△APQ是等腰直角三角形,不可能是“好玩三角形”,

如圖3,當(dāng)P在BC上時(shí),連接AC交PQ于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AB交QP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

四邊形ABCD是菱形,ABC=2β=90°,

四邊形ABCD是正方形,

AB=BC,ACB=ACD=45°,

∴∠CAB=ACP,

PC=CQ,ACB=ACD,

∴∠AEF=CEP=90°,

∴△AEF∽△CEP,且AEF、CEP和BFP都是等腰直角三角形,

PE=CE,

)當(dāng)?shù)走匬Q與它的中線AE相等時(shí),即AE=PQ時(shí),

,

)當(dāng)腰AP與它的中線QM相等,即AP=QM時(shí),

作QNAP于N,如圖4

AP=QM=AQ

MN=AN= MP.

QN= MN,

∴tan∠APQ=

∴tan∠APE=

=

②由①可知,當(dāng)AE=PQ和AP=QM時(shí),有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”,

<tanβ<2時(shí),有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”.

(4)由(3)可以知道:在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)0<tanβ<時(shí),使得△APQ成為“好玩三角形”的個(gè)數(shù)為2.

(1)先畫一條線段AB,再確定AB的中點(diǎn)O,以點(diǎn)O為圓心,AB為半徑畫圓,在圓O上取一點(diǎn)C,連接AC、BC,則△ABC是所求作的三角形;

(2)取AC的中點(diǎn)D,連接BD,設(shè)BC= x,根據(jù)條件可以求出AC=2x,由三角函數(shù)可以求出BD=2x,從而得出AC=BD,從而得出結(jié)論;

(3)①當(dāng)β=45°時(shí),分情況討論,P點(diǎn)在AB上時(shí),△APQ是等腰直角三角形,不可能是“好玩三角形”,當(dāng)P在BC上時(shí),延長(zhǎng)AB交QP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,可以求出,再分情況討論,當(dāng)AE=PQ和AP=QM時(shí),求出的值;

②根據(jù)①求出的兩個(gè)的值可以求出tanβ的取值范圍;

(4)由(3)可以得出“在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)0<tanβ<時(shí),使得△APQ成為‘好玩三角形’的個(gè)數(shù)為2”是真命題.

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