Question

已知：把和按如圖（1）擺放（點(diǎn)與點(diǎn)重合），點(diǎn)、（）、在同一條直線上．，，，，．如圖（2），從圖（1）的位置出發(fā)，以的速度沿向勻速移動(dòng)，在移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)從的頂點(diǎn)出發(fā)，以2 cm/s的速度沿向點(diǎn)勻速移動(dòng).當(dāng)的頂點(diǎn)移動(dòng)到邊上時(shí)，停止移動(dòng)，點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)．與相交于點(diǎn)，連接，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為．

（1）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上？

（2）連接，設(shè)四邊形的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻，使面積最��？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由．

（3）是否存在某一時(shí)刻，使、、三點(diǎn)在同一條直線上？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，說明理由．（圖（3）供同學(xué)們做題使用）

 

Answer 1

【答案】

（1）2（2）（3）1

【解析】

試題分析：1）∵點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上，

∴AP = AQ.

∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，∴∠EQC = 45°.

∴∠DEF =∠EQC.  ∴CE = CQ. 由題意知：CE = t，BP =2 t，∴CQ = t.

∴AQ = 8－t.

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB =" 10" cm .P = 10－2 t.

 ∴10－2 t = 8－t.

解得：t = 2.

答：當(dāng)t =" 2" s時(shí)，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上.    4分

（2）過P作，交BE于M，

∴.

在Rt△ABC和Rt△BPM中，，

∴ .   ∴PM = .

∵BC =" 6" cm，CE = t，  ∴ BE = 6－t.

∴y = S_△ABC－S_△BPE =－= －

= = .

∵，∴拋物線開口向上.

∴當(dāng)t = 3時(shí)，y_最小=.

答：當(dāng)t = 3s時(shí)，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm².      8分

（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上.

過P作，交AC于N，

∴.

∵，∴△PAN ∽△BAC.

∴.

∴.

∴，.

∵NQ = AQ－AN，

∴NQ = 8－t－() = ．

∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一條直線上，

∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.

∵∠FQC = ∠PQN，

∴△QCF∽△QNP .

∴ .  ∴ . 

∵    ∴

解得：t= 1.

(通過△QCF∽△PMF得到t= 1也可)

考點(diǎn)：相似三角形的判定

點(diǎn)評(píng)：解答本題的的關(guān)鍵是熟練掌握有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似.