Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上一動點(diǎn)，連接EM并延長交線段CD的延長線于點(diǎn)F．

（1）如圖1，求證：AE=DF；

（2）如圖2，若AB=2，過點(diǎn)M作 MG⊥EF交線段BC于點(diǎn)G，求證：△GEF是等腰直角三角形

（3）如圖3，若AB=，過點(diǎn)M作 MG⊥EF交線段BC的延長線于點(diǎn)G．

       ①直接寫出線段AE長度的取值范圍；

②判斷△GEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：如圖1,在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠FMD．

∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴AM=DM，

∴△AEM≌△DFM（ASA）．

∴AE=DF．……………………………2分

（2）證明：如圖2，過點(diǎn)G作GH⊥AD于H，

∴∠A=∠B=∠AHG=90°，

∴四邊ABGH為矩形，

∴∠AME+∠AEM=90°，

∵M(jìn)G⊥EF，

∴∠GME=90°．

∴∠AME+∠GMH=90°

∴∠AEM=∠GMH．

∵AD=4，M是AD的中點(diǎn)

∴AM=2

∵四邊ABGH為矩形，

∴AB=HG=2

∴AM=HG

∴△AEM≌△HMG（AAS）．

∴ME=MG．

∴∠EGM=45°．

由（1）得△AEM≌△DFM，

∴ME=MF．

∵M(jìn)G⊥EF，

∴GE=GF．

∴∠EGF=2∠EGM=90°．

∴△GEF是等腰直角三角形．……………………………5分

（3 ）①當(dāng)C、G重合時，如圖4，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=90°，

∴∠AME+∠AEM=90°．

∵M(jìn)G⊥EF，

∴∠EMG=90°．

∴∠AME+∠DMC=90°，

∴∠AEM=∠DMC，

∴△AEM∽△DMC

∴，

∴，

∴AE=

_{當(dāng)E、B重合時，AE最長為，}

∴＜AE≤．……………………7分（注：此小問只需直接寫出結(jié)果即可）

②如圖3，△GEF是等邊三角形．

證明：過點(diǎn)G作GH⊥AD交AD延長線于點(diǎn)H，

∵∠A=∠B=∠AHG=90°，

∴四邊形ABGH是矩形．

∴GH=AB=2．

∵M(jìn)G⊥EF，

∴∠GME=90°．

∴∠AME+∠GMH=90°．

∵∠AME+∠AEM=90°，

∴∠AEM=∠GMH．

又∵∠A=∠GHM=90°，

∴△AEM∽△HMG．

∴．在Rt△GME中，

∴tan∠MEG==．

∴∠MEG=60°．

　由（1）得△AEM≌△DFM．

∴ME=MF．

∵M(jìn)G⊥EF，   ∴GE=GF．

∴△GEF是等邊三角形．……………………………9分