Question

5．設(shè)函數(shù)y=（x+1）[（k-2）x+（2k-3）]（k是常數(shù)）．
（1）當(dāng)k=1和k=2時的函數(shù)y₁和y₂的圖象如圖所示，請你在同一坐標(biāo)系中畫出k=3時函數(shù)y₃的圖象；
（2）根據(jù)圖象，寫出你發(fā)現(xiàn)的兩條結(jié)論；
（3）將函數(shù)y₃的圖象向左平移2個單位，再向下平移4個單位，得到函數(shù)y₄的圖象．請寫出函數(shù)y₄的解析式，回答自變量x取何值時，函數(shù)y₄的最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）把k=3代入y=（x+1）[（k-2）x+（2k-3）]得到y(tǒng)=x²+4x+3，配方得到y(tǒng)=（x+2）²-1，所以函數(shù)y₃的對稱軸為直線x=-2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），然后利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y₃的圖象；
（2）利用函數(shù)圖象經(jīng)過固定點(diǎn)進(jìn)行回答；
（3）利用點(diǎn)平移的規(guī)律得到點(diǎn)（-2，-1）平移所得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，-5），然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出y₄的解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)y₄的最小值．

解答 解：（1）當(dāng)k=3時，y₃=（x+1）（x+3）=x²+4x+3=（x+2）²-1，
則函數(shù)y₃的對稱軸為直線x=-2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），
如圖，

（2）①圖象都經(jīng)過（-2，-1）和（-1，0）；
②圖象總交x軸于點(diǎn)（-1，0）；
（3）函數(shù)y₃的對稱軸為直線x=-2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），把點(diǎn)（-2，-1）向左平移2個單位，再向下平移4個單位所得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，-5），
所以函數(shù)y₄的解析式為y=（x+4）²-5，
當(dāng)x取-4時，函數(shù)y₄的最小值是-5．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．也考查了二次函數(shù)的圖象．