【題目】問題探究:
(1)如圖①,點(diǎn)M、N分別為四邊形ABCD邊AD、BC的中點(diǎn),則四邊形BNDM的面積與四邊形ABCD的面積關(guān)系是

(2)如圖②,在四邊形ABCD中,點(diǎn)M、N分別為AD、BC的中點(diǎn),MB交AN于點(diǎn)P,MC交DN于點(diǎn)Q,若S△四邊形MPNQ=10,則SABP+SDCQ的值為多少?
(3)問題解決
在矩形ABCD中,AD=2,DC=4,點(diǎn)M、N為AB上兩點(diǎn),且滿足BN=2AM=2MN,連接MC、MD.若點(diǎn)P為CD上任意一點(diǎn),連接AP、NP,使得AP與DM交于點(diǎn)E,NP與MC交于點(diǎn)F,則四邊形MEPF的面積是否存最大值?若存在,請求出最大面積;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)S四邊形BNDM= S四邊形ABCD
(2)解:連接BD.

∵M(jìn)、N是AD、BC中點(diǎn),

∴SABM=SBDM,SBDN=SCDN,(等底同高的兩個三角形面積相等)

∴S四邊形BMDN= S四邊形ABCD

同理,S四邊形ANCM= S四邊形ABCD

∴S四邊形ANCM+S四邊形BMDN=S四邊形ABCD

∴S四邊形MPNQ=SABP+SCDQ=10;


(3)連接PM,

設(shè)DP=x,則PC=4﹣x,

∵AM∥DP,

= ,

= ,即 = ,

= 且SAPM= AMAD=1,

∴SMPE= ,

同理可得,SMPF=

∴S= + =2﹣ =2﹣ =2+ ≤2﹣ = ,

當(dāng)x=2時,上式等號成立,

∴S的最大值為:


【解析】解:(1)S四邊形BNDM= S四邊形ABCD,

理由:連接BD,

∵點(diǎn)M、N分別為四邊形ABCD邊AD、BC的中點(diǎn),

∴SBDM= SABD,SBDN= SBCD,

∴S四邊形BNDM=SBDM+SBDN= (SABD+SBCD)= S四邊形ABCD,
(2)連接BD.

∵M(jìn)、N是AD、BC中點(diǎn),

∴SABM=SBDM,SBDN=SCDN,(等底同高的兩個三角形面積相等)

∴S四邊形BMDN= S四邊形ABCD

同理,S四邊形ANCM= S四邊形ABCD

∴S四邊形ANCM+S四邊形BMDN=S四邊形ABCD,

∴S四邊形MPNQ=SABP+SCDQ=10;
(3)連接PM,

設(shè)DP=x,則PC=4﹣x,

∵AM∥DP,

= ,

= ,即 = ,

= 且SAPM= AMAD=1,

∴SMPE= ,

同理可得,SMPF= ,

∴S= + =2﹣ =2﹣ =2+ ≤2﹣ = ,

當(dāng)x=2時,上式等號成立,

∴S的最大值為:

所以答案是:(1)S四邊形BNDM= S四邊形ABCD;(2)10;(3)存在,最大值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在一條筆直的公路上有、兩地,甲騎自行車從地到地;乙騎自行車從地到地,到達(dá)地后立即按原路返回,如圖是甲乙兩人離地的距離與行駛時間之間的函數(shù)圖像,根據(jù)圖像解答以下問題:

(1)求出甲離地的距離與行駛時間之間的函數(shù)表達(dá)式

(2)求出點(diǎn)的坐標(biāo),并解釋改點(diǎn)坐標(biāo)所表示的實(shí)際意義;

(3)若兩人之間保持的距離不超過時,能夠用無線對講機(jī)保持聯(lián)系,請直接寫出甲、乙兩人能夠用無線對講機(jī)保持練習(xí)時的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O,AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E,且∠ADC=60°,AB= BC,連接OE.下列結(jié)論:①∠CAD=30°;②SABCD=ABAC;③OB=AB;④OE= BC,成立的個數(shù)有( )

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為倡導(dǎo)“低碳生活”,常選擇以自行車作為代步工具.如圖1所示是一輛自行車的實(shí)物圖,車架檔AC與CD的長分別為45cm,60cm,且它們互相垂直,座桿CE的長為20cm,車輪半徑28cm,點(diǎn)A,C,E在同一條直線上,且∠CAB=75°,如圖2

(1)求車座點(diǎn)E到地面的距離;(結(jié)果精確到1cm)
(2)求車把點(diǎn)D到車架檔直線AB的距離.(結(jié)果精確到1cm).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,ADBC,∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)G,∠BCD90°

1)求證:∠BAG=∠BGA;

2)如圖2,若∠ABG50°,∠BCD的平分線交AD于點(diǎn)E、交射線GA于點(diǎn)F.求∠AFC的度數(shù);

3)如圖3,線段AG上有一點(diǎn)P,滿足∠ABP3PBG,過點(diǎn)CCHAG.若在直線AG上取一點(diǎn)M,使∠PBM=∠DCH,請直接寫出的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,n),且與x軸的一個交點(diǎn)在點(diǎn)(3,0)和(4,0)之間.則下列結(jié)論:
①a﹣b+c>0;
②3a+b=0;
③b2=4a(c﹣n);
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )

A.1
B.2
C.3
D.4

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,△ABC滿足∠BCA90°,ACBC,點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸上,當(dāng)點(diǎn)A從原點(diǎn)開始沿x軸的正方向運(yùn)動時,則點(diǎn)C始終在y軸上運(yùn)動,點(diǎn)B始終在第一象限運(yùn)動.

1)當(dāng)ABy軸時,求B點(diǎn)坐標(biāo).

2)隨著A、C的運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)B落在直線y3x上時,求此時A點(diǎn)的坐標(biāo).

3)在(2)的條件下,在y軸上是否存在點(diǎn)D,使以O、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形面積是4?如果存在,請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.

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【題目】已知:如圖,在△ABC中,D是AB邊上一點(diǎn),圓O過D、B、C三點(diǎn),∠DOC=2∠ACD=90°.

(1)求證:直線AC是圓O的切線;
(2)如果∠ACB=75°,圓O的半徑為2,求BD的長.

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【題目】[閱讀]

在平面直角坐標(biāo)系中以任意兩點(diǎn)Px1,y1)、Qx2y2)為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)坐標(biāo)為,).

[運(yùn)用]

(1)如圖矩形ONEF的對角線相交于點(diǎn)M,ON、OF分別在x軸和y軸上O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,3),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

(2)在直角坐標(biāo)系中,A(﹣1,2),B(3,1),C(1,4)三點(diǎn),另有一點(diǎn)D與點(diǎn)AB、C構(gòu)成平行四邊形的頂點(diǎn)求點(diǎn)D的坐標(biāo)

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