Question

杭州體博會期間，嘉年華游樂場投資150萬元引進(jìn)一項(xiàng)大型游樂設(shè)施，若不計(jì)維修保養(yǎng)費(fèi)用，預(yù)計(jì)開放后每月可創(chuàng)收33萬元，而該游樂設(shè)施開放后，從第1個(gè)月到第x個(gè)月的維修保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)為y（單位：萬元），且y=ax²+bx，若維修保養(yǎng)費(fèi)用第1個(gè)月為2萬元，第2個(gè)月為4萬元；若將創(chuàng)收扣除投資和維修保養(yǎng)費(fèi)用稱為游樂場的純收益g（單位：萬元），g也是關(guān)于x的二次函數(shù)．
（1）y關(guān)于x的解析式______；
（2）純收益g關(guān)于x的解析式______；
（3）設(shè)施開放______個(gè)月后，游樂場純收益達(dá)到最大？______個(gè)月后，能收回投資？

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意可知
當(dāng)x=1時(shí)，y=2，
當(dāng)x=2時(shí)，y=6，
所以，
解得，
∴y=x²+x；

（2）純收益g=33x-150-（x²+x），
=-x²+32x-150；

（3）g=-x²+32x-150=-（x-16）²+106，
即設(shè)施開放16個(gè)月后游樂場的純收益達(dá)到最大．
又在0＜x≤16時(shí)，g隨x的增大而增大，
當(dāng)x≤5時(shí)，g＜0；
而當(dāng)x=6時(shí)，g＞0，
所以6個(gè)月后能收回投資．
分析：（1）分別把x=1，y=2；x=2，y=6代入解析式用待定系數(shù)法求解即可；
（2）純收益g=x個(gè)月的總利潤-總投資150萬-x個(gè)月的維修保養(yǎng)費(fèi)用，化簡即可求的g關(guān)于x的解析式；
（3）先用配方法把解析式化為頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)即可知其最大值問題；只有當(dāng)g＞0時(shí)，才能回收投資，所以可根據(jù)二次函數(shù)g＞0時(shí)對應(yīng)的x值來確定其在第6個(gè)月可回收投資．
點(diǎn)評：主要考查了利用二次函數(shù)的模型解決實(shí)際問題．先根據(jù)題意求出二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．求最值問題可利用拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)解決．