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20、在一間屋子里有100盞電燈排成一橫行,依從左到右的順序編上號碼1,2,3,…,100.每盞電燈上有一根拉線開關,最初所有電燈全是關的,現有100個學生在門外排著隊,第一個學生走進屋來,把編號是1的倍數的電燈的開關拉一下;接著第二個學生走進屋來,把凡是編號是2的倍數的電燈開關拉了一下;…;最后第100個學生走進屋來,把編號是100的倍數的電燈的開關拉了一下,這樣做過以后,問哪些電燈是亮的?
分析:若(a1,a2)=1,則稱a1與a2互質.若(a1,,ak)=1,則稱a1,,ak互質,
值得注意的是居個數互質,不一定兩兩互質,如(6,9,10)=1,而(6,9)=3,
本題的一個重要條件是最初時燈都是關著的,然后對每個編號分解質因數.
解答:解:由于最初所有電燈是關著的,所以只有哪些拉了奇數次開關的電燈才是亮的,而每一盞電燈的拉線開關被拉了多少次取決于這盞燈的編號的數字有多少個不同的正約數,最后亮著的燈的編號只有為完全平方數.
所以,只有編號為1,4,9,16,25,36,49,64,81,100的電燈最后是亮著的.
點評:此題主要考查了數的奇偶性,得出最后亮著的燈的編號只有為完全平方數,從而解決問題.
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科目:初中數學 來源:不詳 題型:解答題

在一間屋子里有100盞電燈排成一橫行,依從左到右的順序編上號碼1,2,3,…,100.每盞電燈上有一根拉線開關,最初所有電燈全是關的,現有100個學生在門外排著隊,第一個學生走進屋來,把編號是1的倍數的電燈的開關拉一下;接著第二個學生走進屋來,把凡是編號是2的倍數的電燈開關拉了一下;…;最后第100個學生走進屋來,把編號是100的倍數的電燈的開關拉了一下,這樣做過以后,問哪些電燈是亮的?

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