如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，動點P從A出發(fā)沿AC邊向點C以每秒3個單位長的速度運動，動點Q從C點出發(fā)，沿著CB邊向點B以每秒4個單位長的速度運動．P、Q分別從A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)端點時，另一點也隨之停止運動．在運動過程中，△PCQ關(guān)于直線PQ對稱的圖形是△PDQ．設(shè)運動時間為t（秒）．
（1）設(shè)四邊形PCQD面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）t為何值時，△PCQ與△ABC相似；
（3）如圖2，以C點為原點，邊CB、CA所在直線分別為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，當(dāng)PD∥AB時，求點D的坐標(biāo)．
精英家教網(wǎng)
分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：四邊形PCQD的面積是△PCQ面積的2倍，因此只要求出△PCQ的面積即可得出四邊形PCQD的面積．可根據(jù)P、Q的速度用時間t表示出PC和CQ的長，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出△PCQ的面積表達(dá)式，也就能求出y，t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分兩種情況考慮：△PCQ∽△ACB與△PCQ∽△BCA，根據(jù)相似得出比例式，把CP=12-3t，CQ=4t，AC=12及BC=16分別代入即可求出相應(yīng)的時間t的值；
（3）若PD∥AB，延長PD交BC于點M．在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AB=20；易證明Rt△QMD∽Rt△ABC，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得QM=
20
3
t，再由CQ+QM表示出CM，由PD與AB平行，根據(jù)兩直線平行得到兩對同位角相等，從而得出三角形PCM與三角形ABC相似，由相似得比例，把CM，CP，CA及CB的長代入列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而確定出CP，PD及CQ的長，進(jìn)而確定出PM的長，得出DM的長，過D作x軸的垂直交x軸于N，由DM與AB平行得出兩對同位角相等，可得三角形DMN與三角形ABC相似，根據(jù)相似得比例，可求出MN及DN的長，進(jìn)而得出CN的長，得出點D的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由題意知CQ=4t，PC=12-3t
∴S△PCQ=
1
2
PC•CQ=-6t2+24t
∵△PCQ與△PDQ關(guān)于直線PQ對稱
∴y=2S△PCQ=-12t2+48t；

（2）若△PCQ∽△ACB，
∴
CP
CA
=
CQ
CB
，即
12-3t
12
=
4t
16
，
解得：t=2；
若△PCQ∽△BCA，
∴
CP
CB
=
CQ
CA
，即
12-3t
16
=
4t
12
，
解得：t=1.44，
綜上，t為2秒或1.44秒時，△PCQ與△ABC相似；

（3）設(shè)某一時刻t，PD∥AB，延長PD交BC于點M，如圖，
精英家教網(wǎng)若PD∥AB，則∠QMD=∠B，又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC
從而
QM
AB
=
QD
AC
，
∵QD=CQ=4t，AC=12，
AB=
122+162
=20，
∴QM=
20
3
t，
∵PD∥AB，
∴∠CPM=∠A，∠PMC=∠B，
∴△PCM∽△ACB，
∴
CP
CA
=
CM
CB
，即
12-3t
12
=
4t+
20
3
t
16
，
解得t=
12
11
，
則PC=PD=12-3t=
96
11
，CQ=4t=
48
11
，
∴
PC
AC
=
PM
AB
，即
96
11
12
=
96
11
+DM
20
，
解得：DM=
64
11
，
又∵DM∥AB，
∴∠DMN=∠B，
又∵∠DNM=∠C=90°，
∴△DNM∽△ACB，
∴
DN
AC
=
DM
AB
=
MN
BC
，即
DN
12
=
64
11
20
=
MN
16
，
解得：DN=
192
55
，MN=
256
55
，
又∵CM=4t+
20
3
t=
128
11
，
則CN=CM-MN=
384
55
．
所以D的坐標(biāo)為（
384
55
，
192
55
）．
點評：此題考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，本題是一道動態(tài)幾何題，綜合性較強(qiáng)，區(qū)分度較大，有一定的難度．鍛煉了學(xué)生利用關(guān)系式求值的運算技能和從情景中提取信息、解釋信息、解決問題的能力，同時運用的數(shù)學(xué)思想主要是數(shù)學(xué)建模思想．本題的第三問計算量比較大，其中確定出PD∥AB時t的值是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4
2
，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底邊DE與BC重合，兩腰分別落在AB，AC上，且G，F(xiàn)分別是AB，AC的中點．
精英家教網(wǎng)
（1）求等腰梯形DEFG的面積；
（2）操作：固定△ABC，將等腰梯形DEFG以每秒1個單位的速度沿BC方向向右運動，直到點D與點C重合時停止．設(shè)運動時間為x秒，運動后的等腰梯形為DEF′G′（如圖2）．
探究1：在運動過程中，四邊形BDG′G能否是菱形？若能，請求出此時x的值；若不能，請說明理由；
探究2：設(shè)在運動過程中△ABC與等腰梯形DEFG重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點D在邊AB上運動，DE平分∠CDB交邊BC于點E，EM⊥BD垂足為M，EN⊥CD垂足為N．
精英家教網(wǎng)
（1）當(dāng)AD=CD時，求證：DE∥AC；
（2）探究：AD為何值時，△BME與△CNE相似？
（3）探究：AD為何值時，四邊形MEND與△BDE的面積相等？

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=
1
4
x2-6與直線y=
1
2
x相交于A，B兩點．
（1）求線段AB的長；
（2）若一個扇形的周長等于（1）中線段AB的長，當(dāng)扇形的半徑取何值時，扇形的面積最大，最大面積是多少；
（3）如圖2，線段AB的垂直平分線分別交x軸、y軸于C，D兩點，垂足為點M，分別求出OM，OC，OD的長，并驗證等式
1
OC2
+
1
OD2
=
1
OM2
是否成立；
（4）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．CD=b，試說明：
1
a2
+
1
b2
=
1
h2
．
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以AB、AC為底邊向△ABC的外側(cè)作等腰△ABD和ACE，且AD⊥AC，AB⊥AE，DE和AB相交于F．試探究線段FD、FE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
說明：如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，可以從圖2、3中選取一個，并分別補充條件∠CAB=45°、∠CAB=30°后，再完成你的證明．
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，在Rt△ABC中，AB=AC=3，BD為AC邊的中線，AB1⊥BD交BC于B1，B1A1⊥AC于A1．精英家教網(wǎng)
（1）求AA1的長；
（2）如圖2，在Rt△A1B1C中按上述操作，則AA2的長為
 
；
（3）在Rt△A2B2C中按上述操作，則AA3的長為
 
；
（4）一直按上述操作得到Rt△An-1Bn-1C，則AAn的長為
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案