Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，動點P從點A出發(fā)沿AC邊向點C以每秒3個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)沿CB邊向點B以每秒4個單位長的速度運動．P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．在運動過程中，△PCQ關(guān)于直線PQ對稱的圖形是△PDQ．設(shè)運動時間為t（秒）．
（1）設(shè)四邊形PCQD的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）t為何值時，四邊形PQBA是梯形？

Answer 1

解：（1）由題意知CQ=4t，PC=12-3t
∴S_△PCQ=PC•CQ=-6t²+24t
∵△PCQ與△PDQ關(guān)于直線PQ對稱
∴y=2S_△PCQ=-12t²+48t．

（2）當(dāng)時，有PQ∥AB，而AP與BQ不平行，這時四邊形PQBA是梯形
∵CA=12，CB=16，CQ=4t，CP=12-3t
∴
解得t=2
∴當(dāng)t=2秒時，四邊形PQBA是梯形．
分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：四邊形PCQD的面積是△PCQ面積的2倍，因此只要求出△PCQ的面積即可得出四邊形PCQD的面積．可根據(jù)P、Q的速度用時間t表示出PC和CQ的長，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出△PCQ的面積表達式，也就能求出y，t的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)四邊形PQBA是梯形時，PQ∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得出關(guān)于PC，AC，CQ，CB的比例關(guān)系式，根據(jù)這個等量關(guān)系即可求出t的值．
點評：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、梯形的判定、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點．