Question

（2013•歷下區(qū)一模）已知：如圖，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)Q、E同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位的速度沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度沿線段BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，連接CQ、EQ，求△CQE的最大面積；
（3）若平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），問(wèn)：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)明說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A（4，0），用待定系數(shù)法求出a，c的值，即可求出該拋物線的解析式；
（2）先設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（m，0），過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，根據(jù)（1）得出的拋物線求出x的值，得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出AB和BQ的值，再根據(jù)QE∥AC，得出△BQE∽△BAC，求出EG的值，最后根據(jù)S_△CQE=S_△CBQ-S_△EBQ，求出△CQE的最大面積；
（3）存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形；分三種情況討論，在△ODF中，①若DO=DF，②若FO=FD，③若OD=OF，根據(jù)已知條件求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再有拋物線的解析式得出x的值，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A（4，0），
∴

16a-8a+c=0 c=4

，
解得：

a=- 1 2 c=4

，
∴拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+x+4；

（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（m，0），過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，
∵-

1

2

x²+x+4=0，
解得：x₁=-2，x₂=4；
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-2，0），
∴AB=6，BQ=m+2，
∵QE∥AC，
∴△BQE∽△BAC，
∴

EG

CO

=

BQ

BA

，
即

EG

4

=

m+2

6

，
∴EG=

2m+4

3

，
∴S_△CQE=S_△CBQ-S_△EBQ=

1

2

BQ•CO-

1

2

BQ•EG=

1

2

（m+2）（4-

2m+4

3

）=-

1

3

m²+

2

3

m+

8

3

=-

1

3

（m-1）²+3，
又∵-2≤m≤4，
∴當(dāng)m=1時(shí)，S_△CQE有最大值，△CQE的最大面積是3．

（3）存在；
在△ODF中，
①若DO=DF，
∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
∵在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（2，2），
由-

1

2

x²+x+4=2得：
x₁=1+

5

，x₂=1-

5

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1+

5

，2）或P（1-

5

，2）；
②若FO=FD，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，
由等腰三角形的性質(zhì)得：OM=

1

2

OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，3），
由-

1

2

x²+x+4=3，得：x₁=1+

3

，x₂=1-

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1+

3

，3）或（1-

3

，3）；
③若OD=OF，
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4

2

，
∴點(diǎn)O到AC的距離為2

2

，
而OF=OD=2＜2

2

，
∴不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形；
綜上所述：存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（1+

5

，2）或P（1-

5

，2）或（1+

3

，3）或（1-

3

，3）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、三角形的相似、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角的性質(zhì)，難度較大，有一定的開放性，在解題時(shí)要注意綜合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，靈活應(yīng)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．