Question

閱讀：如圖1，在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，AB=DE=a，BC=EF=b（a＜b），B、C、D、E四點都在直線m上，點B與點D重合．
連接AE、FC，我們可以借助于S_△ACE和S_△FCE的大小關(guān)系證明不等式：a²+b²＞2ab（b＞a＞0）．
證明過程如下：
∵BC=b，BE=a，EC=b-a．
∴S△ACE=

1

2

EC•AB=

1

2

(b-a)a，S△FCE=

1

2

EC•FE=

1

2

(b-a)b．
∵b＞a＞0
∴S_△FCE＞S_△ACE
即

1

2

(b-a)b＞

1

2

(b-a)a
∴b²-ab＞ab-a²
∴a²+b²＞2ab
解決下列問題：
（1）現(xiàn)將△DEF沿直線m向右平移，設(shè)BD=k（b-a），且0≤k≤1．如圖2，當(dāng)BD=EC時，k=

 

．利用此圖，仿照上述方法，證明不等式：a²+b²＞2ab（b＞a＞0）．
（2）用四個與△ABC全等的直角三角形紙板進行拼接，也能夠借助圖形證明上述不等式．請你畫出一個示意圖，并簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AD、BF，構(gòu)成同底的兩個三角形，再利用兩個三角形的邊之間的關(guān)系，代入三角形的面積公式求解即可；
（2）答案不唯一，舉例說明：根據(jù)直角三角形及矩形的面積公式求得面積后，再根據(jù)它們之間的數(shù)量關(guān)系來比較．

解答：解：（1）k=

1

2

；
證明：連接AD、BF．
可得BD=

1

2

(b-a)，
∴S△ABD=

1

2

BD•AB
=

1

2

×

1

2

×(b-a)•a
=

1

4

a(b-a)S△FBD
=

1

2

BD•FE
=

1

2

×

1

2

×(b-a)•b
=

1

4

b(b-a)．
∵b＞a＞0，∴S_△ABD＜S_△FBD，即

1

4

a(b-a)＜

1

4

b(b-a)，
∴ab-a²＜b²-ab．∴a²+b²＞2ab；

（2）答案不唯一，圖（1分），理由：
舉例：如圖，理由：
延長BA、FE交于點I．
∵b＞a＞0，∴S_矩形IBCE＞S_矩形ABCD，
即b（b-a）＞a（b-a）．
∴b²-ab＞ab-a²．
∴a²+b²＞2ab．
舉例：如圖，理由：
四個直角三角形的面積和S1=4×

1

2

a•b=2ab，
大正方形的面積S₂=a²+b²．∵b＞a＞0，∴S₂＞S₁．∴a²+b²＞2ab．

點評：做這類題目時，結(jié)合圖形來解答會降低題的難度．