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如圖,已知∠xoy=90°,線段AB=10,若點(diǎn)A在oy上滑動(dòng),點(diǎn)B隨著線段AB在射線ox上滑動(dòng),(A、B與O不重合),Rt△AOB的內(nèi)切⊙K分別與OA、OB、AB切于E、F、P.
(1)在上述變化過程中:Rt△AOB的周長(zhǎng),⊙K的半徑,△AOB外接圓半徑,這幾個(gè)量中不會(huì)發(fā)生變化的是什么?并簡(jiǎn)要說明理由;
(2)當(dāng)AE=4時(shí),求⊙K的半徑r;
(3)當(dāng)Rt△AOB的面積為S,AE為x,試求:S與x之間的函數(shù)關(guān)系,并求出S最大時(shí)直角邊OA的長(zhǎng).

【答案】分析:(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì),斜邊上的中線等于斜邊的一半,AB的長(zhǎng)不變,即△AOB的外接圓半徑不變;
(2)設(shè)⊙K的半徑為r,連EK、KF,則四邊形EOFK是正方形,根據(jù)切線長(zhǎng)定理,可求得r;
(3)設(shè)AO=b,OB=a,可得出r=,即2(b-x)+10=a+b,再由,則S=-x2+10x.再求得該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo).
解答:解:(1)不會(huì)發(fā)生變化的是△AOB的外接圓半徑,
∵∠AOB=90°,
∴AB是△AOB的外接圓的直徑
AB的長(zhǎng)不變,即△AOB的外接圓半徑不變

(2)設(shè)⊙K的半徑為r,⊙K與Rt△AOB相切于E、F、P,連EK、KF
∴∠KEO=∠OFK=∠O=90°,
∴四邊形EOFK是矩形,
又∵OE=OF
∴四邊形EOFK是正方形,
∴OE=OF=r,AE=AP=4,
∴PB=BF=6,
∴(4+r)2+(6+r)2=100,
∴r=-12(不符合題意),r=2,

(3)設(shè)AO=b,OB=a,⊙K與Rt△AOB三邊相切于E、F、P,
∴OE=r=,即2(b-x)+10=a+b,∴10-2x=a-b,
∴100-40x+4x2=a2+b2-2ab,

∴ab=2S,a2+b2=102
∴100-40x+4x2=100-4S,
∴S=-x2+10x,
另一解法:(x+r)2+(10-x+r)2=100,
∴r2+10r=-x2+10x
S=•r(OA+OB+AB)=r(r+x+10-x+r+10)=r(20+2r)=r2+10r
∴S=r2+10r=-x2+10x,
又∵S=-x2+10x=-(x-5)2+25
∵當(dāng)x=5時(shí),S最大,即AE=BF=5,
∴OA=
點(diǎn)評(píng):本題是一道中考?jí)狠S題,考查了二次函數(shù)與三角形的內(nèi)切圓、外接圓的綜合題,難度偏大.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

23、如圖,已知∠XOY=90°,正△PAB的頂點(diǎn)P與O點(diǎn)重合,頂點(diǎn)A是射線OX上的一個(gè)定點(diǎn),另一頂點(diǎn)B在∠XOY的內(nèi)部.
(1)當(dāng)頂點(diǎn)P在射線OY上移動(dòng)到點(diǎn)P1時(shí),連接AP1,請(qǐng)用尺規(guī)作圖∠XOY內(nèi)部作出以AP1為邊的正三角形(要求:保留作圖痕跡,不寫作法和證明);
(2)設(shè)AP1交OB于點(diǎn)C,AB的延長(zhǎng)線交B1P1于點(diǎn)D.求證:△ABC∽△AP1D;
(3)連接BB1,求∠ABB1的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知∠xoy=90°,線段AB=10,若點(diǎn)A在oy上滑動(dòng),點(diǎn)B隨著線段AB在射線o精英家教網(wǎng)x上滑動(dòng),(A、B與O不重合),Rt△AOB的內(nèi)切⊙K分別與OA、OB、AB切于E、F、P.
(1)在上述變化過程中:Rt△AOB的周長(zhǎng),⊙K的半徑,△AOB外接圓半徑,這幾個(gè)量中不會(huì)發(fā)生變化的是什么?并簡(jiǎn)要說明理由;
(2)當(dāng)AE=4時(shí),求⊙K的半徑r;
(3)當(dāng)Rt△AOB的面積為S,AE為x,試求:S與x之間的函數(shù)關(guān)系,并求出S最大時(shí)直角邊OA的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•崇左)如圖,已知∠XOY=90°,等邊三角形PAB的頂點(diǎn)P與O點(diǎn)重合,頂點(diǎn)A是射線OX上的一個(gè)定點(diǎn),另一個(gè)頂點(diǎn)B在∠XOY的內(nèi)部.
(1)當(dāng)頂點(diǎn)P在射線OY上移動(dòng)到點(diǎn)P1時(shí),連接AP1,請(qǐng)用尺規(guī)作圖;在∠XOY內(nèi)部作出以AP1為邊的等邊△AP1B1(要求保留作圖痕跡,不要求寫作法和證明);
(2)設(shè)AP1交OB于點(diǎn)C,AB的延長(zhǎng)線交B1P1于點(diǎn)D.求證:△ABC∽△AP1D;
(3)連接BB1,求證:∠ABB1=90°.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知∠XOY=90°,正△PAB的頂點(diǎn)PO點(diǎn)重合,頂點(diǎn)A是射線OX上的一個(gè)定點(diǎn),另一頂點(diǎn)B在∠XOY的內(nèi)部。

(1) 當(dāng)頂點(diǎn)P在射線OY上移動(dòng)到點(diǎn)P1時(shí),連結(jié)AP1,請(qǐng)用尺規(guī)作圖∠XOY內(nèi)部作出以AP1為邊的正三角形(要求:保留作圖痕跡,不寫作法和證明);

(2) 設(shè)AP1OB于點(diǎn)C,AB的延長(zhǎng)線交B1P1于點(diǎn)D. 求證:△ABC∽△AP1D;

(3 ) 連結(jié)BB1,求∠ABB1的度數(shù). 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年浙江省杭州市蕭山區(qū)中考模擬數(shù)學(xué)試卷(朝暉初中 李衛(wèi)星)(解析版) 題型:解答題

如圖,已知∠XOY=90°,正△PAB的頂點(diǎn)P與O點(diǎn)重合,頂點(diǎn)A是射線OX上的一個(gè)定點(diǎn),另一頂點(diǎn)B在∠XOY的內(nèi)部.
(1)當(dāng)頂點(diǎn)P在射線OY上移動(dòng)到點(diǎn)P1時(shí),連接AP1,請(qǐng)用尺規(guī)作圖∠XOY內(nèi)部作出以AP1為邊的正三角形(要求:保留作圖痕跡,不寫作法和證明);
(2)設(shè)AP1交OB于點(diǎn)C,AB的延長(zhǎng)線交B1P1于點(diǎn)D.求證:△ABC∽△AP1D;
(3)連接BB1,求∠ABB1的度數(shù).

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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