Question

（1）如圖1，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交與點P，求證：∠P=90°+∠A．
（2）如圖2，在上題中，如果CP是∠ACD的平分線，BP是∠ABC的平分線，那么∠P與∠A有什么關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
（3）如圖3在上題中，如果BP、CP分別是∠CBD與∠BCE的平分線，那么∠P與∠A有什么關(guān)系？直接寫出關(guān)系，不必證明．

Answer 1

（1）證明：∵∠ABC與∠ACB的平分線交與點P，
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠P=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A；

（2）證明：∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的平分線，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD，
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠PCD=∠PBC+∠P，
∴∠BAC+∠ABC=2（∠PBC+∠P）=2∠PBC+2∠P，
∴∠BAC=2∠P，
∴∠P=∠BAC，即∠P=∠A；

（3）BP、CP為△ABC兩外角∠ABC、∠ACB的平分線，∠A為x°
∴∠BCP=（∠A+∠ABC）、∠PBC=（∠A+∠ACB），
由三角形內(nèi)角和定理得，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，
=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-（∠A+180°），
=90°-∠A，即∠P=90°-∠A．
分析：（1）三角形的內(nèi)角和為180°，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠P=180°-（∠ABC+∠ACB），由此即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠ACD與∠PCD，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD，然后整理即可得證；
（3）根據(jù)三角形外角平分線的性質(zhì)可得∠BCP=（∠A+∠ABC）、∠PBC=（∠A+∠ACB）；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BPC=90°-∠A．
點評：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．