Question

已知，在△ABC中，分別以AB，AC為斜邊作等腰直角三角形ABM和CAN，P是邊BC的中點(diǎn)，求證：PM=PN．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：證明題

分析：如圖你作輔助線；首先證明MD=PQ、PD=NQ，∠MDP=∠PQN，然后運(yùn)用SAS公理證明△MDP≌△PQN，即可解決問(wèn)題．

解答：解：如圖，分別取AB、AC的中點(diǎn)D、Q；
連接DM、DP；QN、QP；
∵點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，
∴DP∥AC，DP=

1

2

AC；同理可證：
PQ∥AB，PQ=

1

2

AB；
∴∠BDP=∠PQC=∠BAC（設(shè)為α）；
∵△ABM、△ACN均為等腰直角三角形，
且D、Q均為AB、AC的中點(diǎn)，
∴MD=

1

2

AB，NQ=

1

2

AC，∠MDB=∠NQC=90°，
∴MD=PQ、PD=NQ，∠MDP=∠PQN=90°-α；
在△MDP與△PQN中，

MD=PQ ∠MDP=∠PQN PD=NQ

，
∴△MDP≌△PQN（SAS），
∴PM=PN．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、三角形的中位線定理、直角三角形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用全等三角形的判定及其性質(zhì)、三角形的中位線定理等來(lái)分析、判斷、解答．