(2007•臨沂)如圖1,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一塊含30°角的三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上(直角三角板的短直角邊為DE,長直角邊為DF),將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉(zhuǎn).

(1)在圖1中,DE交AB于M,DF交BC于N.①證明DM=DN;②在這一過程中,直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN,請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明是如何變化的;若不發(fā)生變化,求出其面積;
(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置,延長AB交DE于M,延長BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;
(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置,延長FD交BC于N,延長ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?若成立,請給出寫出結(jié)論,不用證明.
【答案】分析:(1)連接BD,證明△DMB≌△DNC.根據(jù)已知,全等條件已具備兩個,再證出∠MDB=∠NDC,用ASA證明全等,四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化,因為它的面積始終等于△ABC面積的一半;
(2)成立.同樣利用(1)中的證明方法可以證出△DMB≌△DNC;
(3)結(jié)論仍然成立,方法同(1).
解答:解:(1)①如圖1,連接DB,在Rt△ABC中,AB=BC,AD=DC,
∴DB=DC=AD,∠BDC=90°,
∴∠ABD=∠C=45°,
∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°,
∴∠MDB=∠NDC,
∴△BMD≌△CND(ASA),
∴DM=DN;
②四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化;
由①知△BMD≌△CND,
∴S△BMD=S△CND,
∴S四邊形DMBN=S△DBN+S△DMB=S△DBN+S△DNC=S△DBC=S△ABC=×=;

(2)DM=DN仍然成立;
證明:如圖2,連接DB,在Rt△ABC中,AB=BC,AD=DC,
∴DB=DC,∠BDC=90°,
∴∠DCB=∠DBC=45°,
∴∠DBM=∠DCN=135°,
∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°,
∴∠CDN=∠BDM,
∴△BMD≌△CND(ASA),
∴DM=DN.

(3)DM=DN.
點評:本題利用ASA求三角形全等,還運(yùn)用了全等三角形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),及等腰三角形三線合一定理,勾股定理和面積公式的利用等知識.
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(2)若點C在拋物線的對稱軸上,點D在拋物線上,且以O(shè)、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形,求D點的坐標(biāo);
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