Question

已知，在△ABC中，AB=AC，在射線(xiàn)CA上截取線(xiàn)段CE，在射線(xiàn)AB上截取線(xiàn)段BD，連接DE，DE所在直線(xiàn)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)M．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上時(shí)，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，若BD=CE，請(qǐng)判斷線(xiàn)段MD和線(xiàn)段ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，若BD=CE，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，說(shuō)明理由．
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上（點(diǎn)D不與A、B重合），DE所在直線(xiàn)與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)M，若CE=mBD，（m＞1），請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段MD與線(xiàn)段ME的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）DM=EM；過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F，然后利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和已知條件可以證明△DBM≌△EFM，接著利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論；
（2）成立；過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，然后利用平行線(xiàn)的性質(zhì)與已知條件可以證明△DBM≌△EFM，接著利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論；
（3）．過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，然后利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和已知條件得到△DBM∽△EFM，接著利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
解答：（1）DM=EM；（1分）
證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F，（2分）
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；
又∵EF∥AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．又∵BD=EC，∴EF=BD．
又∵EF∥AB，∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中
∴△DBM≌△EFM，∴DM=EM．（4分）

（2）成立；（5分）
證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，（6分）
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；
又∵EF∥AB，∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．
又∵BD=EC，∴EF=BD．
又∵EF∥AB，∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中
∴△DBM≌△EFM；∴DM=EM；（8分）
（3）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，
∴△DBM∽△EFM，
∴BD：EF=DM：ME，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠F=∠ABC，
∴∠F=∠C，
∴EF=EC，
∴BD：EC=DM：ME=1：m，
∴．（10分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，也利用了等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，有一定的綜合性，對(duì)于學(xué)生的能力要求比較高，平時(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練．