Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝4，AD＝3，動點(diǎn)M、N分別從D、B同時出發(fā)，以1個單位/秒的速度運(yùn)動，點(diǎn)M沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動。過點(diǎn)N作NP⊥BC，交AC于點(diǎn)P，連結(jié)MP。已知動點(diǎn)運(yùn)動了秒。

1.請直接寫出PN的長            ；（用含的代數(shù)式表示）

2.若0秒≤≤3秒，試求△MPA的面積S與時間秒的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值。

3.若0秒≤≤3秒，△MPA能否與△PCN相似？若能，試求出相似時的對應(yīng)值；若不能，試說明理由。

 

Answer 1

【答案】

 

1.；

2.延長NP交AD于點(diǎn)Q，則PQ⊥AD，由⑴得：PN＝，

則。

依題意，可得：

∵0≤≤1.5

∴當(dāng)時，S有最大值 ，S_最大值＝。…………………4分

3.能相似

共有兩種情況，以下分類說明：

①   …………………2分

②3或…………………2分

綜上所述，當(dāng)，或，或時，△MPA與△NPA相似

【解析】（1）可在直角三角形CPN中，根據(jù)CN的長和∠CPN的正切值求出．

（2）三角形MPA中，底邊AM的長為3-x，關(guān)鍵是求出MA邊上的高，可延長NP交AD于Q，那么PQ就是三角形AMP的高，可現(xiàn)在直角三角形CNP中求出PN的長，進(jìn)而根據(jù)AB的長，表示出PQ的長，根據(jù)三角形的面積公式即可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得出S的最大值．

（3）本題要分三種情況：

①M(fèi)P=PA，那么AQ=BN=AM，可用x分別表示出BN和AM的長，然后根據(jù)上述等量關(guān)系可求得x的值．

②MA=MP，在直角三角形MQP中，MQ=MA-BN，PQ=AB-PN根據(jù)勾股定理即可求出x的值．

③MA=PA，不難得出AP=BN，然后用x表示出AM的長，即可求出x的值．