Question

4．如圖，D，E分別在等邊三角形ABC中邊CB和邊BC的延長線上．
（1）已知BC²=BD•CE，求∠DAE的度數(shù)；
（2）以第（1）題所得的結論為條件，請證明BC²=DB•CE．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等邊三角形，易得∠ABD=∠ECA，又由BC²=BD•CE，可證得△ABD∽△ECA，然后由相似三角形的對應角相等，求得∠D=∠EAC，繼而求得答案；
（2）由∠DAE=120°，△ABC是等邊三角形，易證得△ABD∽△ECA，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得結論．

解答 （1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠ABD=∠ACE=120°，
∵BC²=BD•CE，
∴BC：CE=BD：BC，
即AB：CE=BD：AC，
∴△ABD∽△ECA，
∴∠D=∠CAE，
∴∠DAB+∠CAE=∠DAB+∠D=60°，
∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=120°；

（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠ABD=∠ACE=120°，
∴∠D+∠BAD=60°，
∵∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠CAE=60°，
∴∠D=∠CAE，
∴△ABD∽△ECA，
∴AB：CE=BD：AC，
∴BC：CE=BD：BC，
即BC²=DB•CE．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質．注意證得△ABD∽△ECA是解此題的關鍵．