Question

如圖，在△ABC中，E、F、G分別是AB、BC、AC邊的中點，連接GE、GF，BD是AC邊上的高，連接DE、DF．
（1）試判斷四邊形BFGE是怎樣的特殊四邊形？證明你的結(jié)論；
（2）求證：∠EDF=∠EGF．

Answer 1

【答案】分析：（1）四邊形BFGE是平行四邊形，由于E、F、G分別是AB、BC、AC邊的中點，可以得到EG、GF是△ABC的中位線，然后利用中位線的性質(zhì)即可證明四邊形BFGE是平行四邊形；
（2）由四邊形BFGE是平行四邊形可以得到∠ABC=∠EGF，又BD是AC邊上的高，得到∠ADB=∠BDC=90°，又由E、F分別是AB、BC邊的中點得到DE=BE=AB、DF=BF=BC，然后利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論．
解答：解：（1）四邊形BFGE是平行四邊形，
∵E、F、G分別是AB、BC、AC邊的中點，∴EG、GF是△ABC的中位線，
∴EG∥BC、GF∥AB，
∴四邊形BFGE是平行四邊形；

（2）∵四邊形BFGE是平行四邊形，
∴∠ABC=∠EGF（6分）
∵BD是AC邊上的高，
∴∠ADB=∠BDC=90°
又∵E、F分別是AB、BC邊的中點，
∴DE=BE=AB，DF=BF=BC（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴∠EDB=∠EBD，∠DBF=∠BDF（8分）
∴∠EDB+∠BDF=∠EBD+∠DBF，
∴∠EDF=∠ABC，
∴∠EDF=∠EGF（10分）．
點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、三角形的中位線的性質(zhì)，解題時首先利用中位線的性質(zhì)證明平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可解決問題．