Question

如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）探究：線段OE與OF的數(shù)量關系并加以證明；
（2）當點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？
（3）當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明，若不是，則說明理由．

Answer 1

（1）解：OE=OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分線，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵MN∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∵OF是∠BCA的外角平分線，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠ECD，
∴∠OFC=∠COF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；

（2）解：當∠ACB=90°，點O在AC的中點時，
∵OE=OF，
∴四邊形AECF是正方形；

（3）解：不可能．
如圖所示，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在兩個角為90°，所以不存在其為菱形．
分析：（1）探究問題，也就是證明問題，可以先假設，題中OE，OF可通過平行線，角平分線確定二者之間的關系．
（2）正方形的判定問題，AECF若是正方形，則必有對角線OA=OC，所以O為AC的中點，同樣在△ABC中，當∠ACB=90°時，可滿足其為正方形．
（3）菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對角線互相垂直．
點評：熟練掌握菱形及正方形的性質及判定定理，能夠解決一些簡單的運動問題．