Question

13．如圖，已知⊙O的半徑為1，AC是⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線BC，E是BC的中點，AB交⊙O于D點．
（1）直接寫出ED和EC的數(shù)量關(guān)系：ED=EC；
（2）DE是⊙O的切線嗎？若是，給出證明；若不是，說明理由；
（3）填空：當BC=2時，四邊形AOED是平行四邊形，同時以點O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)CD，如圖，由圓周角定理得到∠ADC=90°，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線直線得到DE=CE=BE；
（2）連結(jié)OD，如圖，利用切線性質(zhì)得∠2+∠4=90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)得∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4=90°，于是根據(jù)切線的判定定理可判斷DE是⊙O的切線；
（3）要判斷四邊形AOED是平行四邊形，則DE=OA=1，所以BC=2，當BC=2時，△ACB為等腰直角三角形，則∠B=45°，又可判斷△BCD為等腰直角三角形，于是得到DE⊥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC=1，所以四邊形AOED是平行四邊形；然后利用OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°可判斷四邊形OCED為正方形．

解答 解：（1）連結(jié)CD，如圖，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∵E是BC的中點，
∴DE=CE=BE；
（2）DE是⊙O的切線．理由如下：
連結(jié)OD，如圖，
∵BC為切線，
∴OC⊥BC，
∴∠OCB=90°，即∠2+∠4=90°，
∵OC=OD，ED=EC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODB=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
（3）當BC=2時，
∵CA=CB=2，
∴△ACB為等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴△BCD為等腰直角三角形，
∴DE⊥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵OA=DE=1，AO∥DE，
∴四邊形AOED是平行四邊形；
∵OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°，
∴四邊形OCED為正方形．
故答案為ED=EC；2，正方形．

點評 本題考查了切線的判斷與性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．常見的輔助線為：判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”； 有切線時，常�！坝龅角悬c連圓心得半徑”．解決（3）小題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形和正方形的判定方法．