Question

等邊△ABC邊長(zhǎng)為6，P為BC邊上一點(diǎn)，∠MPN=60°，且PM、PN分別于邊AB、AC交于點(diǎn)E、F.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為BC的三等分點(diǎn)，且PE⊥AB時(shí)，判斷△EPF的形狀；

（2）如圖2，若點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持PE⊥AB，設(shè)BP=x，四邊形AEPF面積的y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）如圖3，若點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，且∠MPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CF=AE=2時(shí)，求PE的長(zhǎng).

【解析】（1）要證三角形EPF是等邊三角形，已知了∠EPF=60°，主要再證得PE=PF即可，可通過(guò)證三角形PBE和PFC全等來(lái)得出結(jié)論，再證明全等過(guò)程中，可通過(guò)證明FP⊥BC和BE=PC來(lái)實(shí)現(xiàn)；

（2）根據(jù)△ABC的面積-△BEP的面積-△CFP的面積=四邊形AEPF面積求解

（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，設(shè)BP=x，則CP=6-x，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求出x的值，再根據(jù)勾股定理求出PE的值即可

 

Answer 1

【答案】

（1）△EPF為等邊三角形.     --------------4分

（2）設(shè)BP=x，則CP＝6－x.

     由題意可 △BEP的面積為.△CFP的面積為.

△ABC的面積為.

設(shè)四邊形AEPF的面積為y.

 ∴ =.

自變量x的取值范圍為3＜x＜6. --------------8分

（3）可證△EBP∽△PCF.

∴ .[來(lái)源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]

設(shè)BP=x，

則 . 解得 .

∴ PE的長(zhǎng)為4或.    --------------12分