Question

某商店銷售一種商品，每件的進(jìn)價(jià)為2.5元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售量與銷售單價(jià)滿足如下關(guān)系：在一段時(shí)間內(nèi)，單價(jià)是13.5元時(shí)，銷售量為500件，而單價(jià)每降低1元，就可以多售出200件．請(qǐng)你分析，銷售單價(jià)多少時(shí)，可以獲利最大？

Answer 1

分析：通過閱讀，我們可以知道，商品的利潤(rùn)和售價(jià)、銷售量有關(guān)系，它們之間呈現(xiàn)如下關(guān)系式：總利潤(rùn)=單個(gè)商品的利潤(rùn)×銷售量．要想獲得最大利潤(rùn)，并不是單獨(dú)提高單個(gè)商品的利潤(rùn)或僅大幅提高銷售量就可以的，這兩個(gè)量之間應(yīng)達(dá)到某種平衡，才能保證利潤(rùn)最大．因?yàn)橐阎�中給出了商品降價(jià)與商品銷售量之間的關(guān)系，所以，我們完全可以找出總利潤(rùn)與商品的價(jià)格之間的關(guān)系，利用這個(gè)等式尋找出所求的問題，這里我們不妨設(shè)每件商品降價(jià)x元，商品的售價(jià)就是（13.5-x）元了．單個(gè)的商品的利潤(rùn)是（13.5-x-2.5），這時(shí)商品的銷售量是（500+200x），總利潤(rùn)可設(shè)為y元．利用上面的等量關(guān)式，可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式了，若是二次函數(shù)，即可利用二次函數(shù)的知識(shí)，找到最大利潤(rùn)．

解答：解：設(shè)每件商品降價(jià)x元，
商品的售價(jià)就是（13.5-x）元，單個(gè)的商品的利潤(rùn)是（13.5-x-2.5）元，
這時(shí)商品的銷售量是（500+200x）件．
設(shè)總利潤(rùn)為y元，
則y=（13.5-x-2.5）（500+200x）=-200x²+1700x+5500，
∵-200＜0，
∴y有最大值；
∴當(dāng)x=-

1700

2×(-200)

=4.25時(shí)，
y_最大值=

4×(-200)×5500-17002

4×(-200)

=9112.5，
即當(dāng)每件商品降價(jià)4.25元，即售價(jià)為13.5-4.25=9.25時(shí)，可取得最大利潤(rùn)9112.5元．

點(diǎn)評(píng)：此題運(yùn)用了數(shù)學(xué)建模思想把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求最值常用公式法或配方法．