Question

18．如圖，銳角△ABC中，邊BC長(zhǎng)為3，高AH長(zhǎng)為2，矩形EFMN的邊MN在BC邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，EF交AH于點(diǎn)G．
（1）求$\frac{EF}{AG}$的值；
（2）當(dāng)EN為何值時(shí)，矩形EFMN的面積為△ABC面積的四分之一．

Answer 1

分析 （1）由EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AG}{AH}=\frac{EF}{BC}$，根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)EN=x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AG}{AH}=\frac{EF}{BC}$，代入數(shù)據(jù)得到$\frac{2-x}{2}=\frac{EF}{3}$，求得EF=3-$\frac{3}{2}$x，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AG}{AH}=\frac{EF}{BC}$，
∴$\frac{EF}{AG}=\frac{BC}{AH}$=$\frac{3}{2}$；

（2）設(shè)EN=x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AG}{AH}=\frac{EF}{BC}$，
∴$\frac{2-x}{2}=\frac{EF}{3}$，
∴EF=3-$\frac{3}{2}$x，
∵矩形EFMN的面積為△ABC面積的四分之一，
∴x（3-$\frac{3}{2}$x）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×3×2，
∴x=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴EN為1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，矩形EFMN的面積為△ABC面積的四分之一．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．