【題目】如圖,在△ABC中,O為AC上一點(diǎn)以O為圓心,OC長為半徑作圓,與BC相切于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作AD⊥BO交BO延長線于點(diǎn)D,且∠AOD=∠BAD.
(1)求證:AB為⊙O的切線;
(2)若BC=6,tan∠ABC,求OD的長.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)作OE⊥AB,先由∠AOD=∠BAD求得∠ABD=∠OAD,再由∠BCO=∠D=90°及∠BOC=∠AOD求得∠OBC=∠OAD=∠ABD,最后證△BOC≌△BOE得OE=OC,依據(jù)切線的判定可得;
(2)先求得∠EOA=∠ABC,在Rt△ABC中求得AC=8、AB=10,由切線長定理知BE=BC=6、AE=4、OE=3,繼而得OB3,再證△ABD∽△OBC得,據(jù)此可得AD=2,再根據(jù)OD求解可得答案.
(1)過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E,
∵AD⊥BO于點(diǎn)D,
∴∠D=90°,
∴∠BAD+∠ABD=90°,∠AOD+∠OAD=90°.
∵∠AOD=∠BAD,
∴∠ABD=∠OAD,
又∵BC為⊙O的切線,
∴AC⊥BC,
∴∠BCO=∠D=90°.
∵∠BOC=∠AOD,
∴∠OBC=∠OAD=∠ABD,
在△BOC和△BOE中,
∵,
∴△BOC≌△BOE(AAS),
∴OE=OC.
∵OE⊥AB,
∴AB是⊙O的切線;
(2)∵∠ABC+∠BAC=90°,∠EOA+∠BAC=90°,
∴∠EOA=∠ABC.
∵tan∠ABC、BC=6,
∴AC=BCtan∠ABC=8,
則AB=10,
由(1)知BE=BC=6,
∴AE=4.
∵tan∠EOA=tan∠ABC,
∴,
∴OE=3,
則OC=OE=3,
∴AO=5,OB3,
∵∠ABD=∠OBC,∠D=∠ACB=90°,
∴△ABD∽△OBC,
∴,即,
∴AD=2,
∴OD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市大力發(fā)展鄉(xiāng)村旅游產(chǎn)業(yè),全力打造客都美麗鄉(xiāng)村”,其中“客家美景、客家文化、客家美食”享譽(yù)全省,游人絡(luò)繹不絕.去年我市某村村民抓住機(jī)遇,投入20萬元?jiǎng)?chuàng)辦農(nóng)家樂(餐飲+住宿),一年時(shí)間就收回投資的80%,其中餐飲收入是住宿收入的2倍還多1萬元.
(1)求去年該農(nóng)家樂餐飲和住宿的收入各為多少萬元?
(2)今年該村村民再投入了10萬元,增設(shè)了土特產(chǎn)的實(shí)體銷售和網(wǎng)上銷售項(xiàng)目并實(shí)現(xiàn)盈利,村民在接受記者采訪時(shí)說,預(yù)計(jì)今年餐飲和住宿的收入比去年還會(huì)有10%的增長.這兩年的總收入除去所有投資外還能獲得不少于10萬元的純利潤,請(qǐng)問今年土特產(chǎn)銷售至少收入多少萬元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為;同時(shí),動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為;當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng),另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是.過點(diǎn)作于點(diǎn),連接,.
(1)為何值時(shí),?
(2)設(shè)四邊形的面積為,試求出與之間的關(guān)系式;
(3)是否存在某一時(shí)刻,使得若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(4)當(dāng)為何值時(shí),?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某貨船以24海里/時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處,在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60°的方向上.該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處,此時(shí)再測(cè)得該島在北偏東30°的方向上,
(1)求B到C的距離;
(2)如果在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁.若繼續(xù)向正東方向航行,該貨船有無觸礁危險(xiǎn)?試說明理由(≈1.732).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】農(nóng)科院新培育岀A、B兩種新麥種,為了了解它們的發(fā)芽情況,在推廣前做了五次發(fā)芽實(shí)驗(yàn),每次隨機(jī)各自取相同種子數(shù),在相同的培育環(huán)境中分別實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)情況記錄如下:
下面有三個(gè)推斷:
①在同樣的地質(zhì)環(huán)境下播種,A種子的出芽率可能會(huì)高于B種子.
②當(dāng)實(shí)驗(yàn)種子數(shù)里為100時(shí),兩種種子的發(fā)芽率均為0.96所以他發(fā)芽的概率一樣;
③隨著實(shí)驗(yàn)種子數(shù)量的增加,A種子出芽率在0.98附近擺動(dòng),顯示出一定的穩(wěn)定性,可以估計(jì)A種子出芽的概率是0.98;其中不合理的是_____(只填序號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,點(diǎn)為的中點(diǎn),以點(diǎn)為圓心作圓心角為的扇形,點(diǎn)恰在弧上,則圖中陰影部分的面積為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB=AC,⊙O為△ABC的外接圓,AF為⊙O的直徑,四邊形ABCD是平行四邊形.
(1)求證:AD是⊙O的切線;
(2)若∠BAC=45°,AF=2,求陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)舉行了“安全知識(shí)競賽“,張嵐將所有參賽選手的成績(得分均為整數(shù))進(jìn)行整理,并分別繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)直方圖,部分信息如下:
則下列結(jié)論不正確的是( )
A.本次比賽參賽選手共有50人
B.扇形統(tǒng)計(jì)圖中“89.5~99.5“這一組人數(shù)占總參賽人數(shù)的百分比為24%
C.頻數(shù)分布直方圖中“84.5~89.5“這一組人數(shù)為8人
D.扇形統(tǒng)計(jì)圖中“89.5~99.5“扇形的圓心角為90°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰△ABC中,AC=BC,∠ACB=4∠B,點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn),DE⊥AC,交AB于點(diǎn)E,連接CE.
(1)求∠BCE的度數(shù);
(2)求證:AB=3CE.
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