Question

在△ABC中，分別以AB、BC為直徑的⊙O₁、⊙O₂，交于另一點D．
（1）證明：交點D必在AC上；
（2）如圖甲，當⊙O₁與⊙O₂半徑之比為4：3，且DO₂與⊙O₁相切時，判斷△ABC的形狀，并求tan∠O₂DB的值；
（3）如圖乙，當⊙O₁經過點O₂，AB、DO₂的延長線交于E，且BE=BD時，求∠A的度數．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AB、BC分別是兩個圓的直徑，根據圓周角定理知∠ADB、∠BDC都是直角，因此A、D、C三點共線，即D必在AC上．
（2）根據等邊對等角以及弦切角定理，可證得∠O₂BD=∠O₂DB=∠A，而∠A+∠ABD=90°，故∠O₂B+∠ABD=90°，即∠ABC=90°，因此△ABC是直角三角形；上面已經證得∠O₂DB=∠A，那么它們的正切值相同，已知了兩圓的半徑比，即可在Rt△ABC中，求出∠A的正切值，由此得解．
（3）連接O₁O₂，則O₁O₂是△ABC的中位線，所以AC=2O₁O₂=AB，即∠ACB=∠ABC；在△BDE中，BD=BE，可設∠O₂BD=x，則∠O₂DB=∠E=x，而△BDE的外角∠ABD=2x，∠ABC=∠C=3x，在Rt△CBD中，由于∠C與∠DBC互余，由此可求出x的度數，即可得到∠C、∠ABC的度數，根據三角形內角和定理即可求得∠A的度數．
解答：（1）證明：∵AB為⊙O₁的直徑，
∴∠ADB=90°，同理∠BDC=90°，
∴∠ADC=180°，
∴點D在AC上．

（2）解：如圖甲，△ABC是以∠B為直角的直角三角形．理由如下：
連接O₁D，O₁O₂．
∵DO₂是⊙O₁的切線，O₁D是半徑，
∴∠O₁DO₂=90°，
∵O₁D=O₁B，O₂D=O₂B，O₁O₂公共，
∴△O₁BO₂≌△O₁DO₂，
∴∠O₁BO₂=∠O₁DO₂=90°，
∴△ABC為直角三角形．
又∵BD⊥AC，
∴∠O₂DB=∠O₂BD=∠A，
∴tan∠O₂DB=tan∠A==．

（3）解：如圖乙，連接O₁O₂，則AC=2O₁O₂=AB；
令∠O₂BD=x，則∠O₂BD=∠O₂DB=x，
∵BD=BE，
∴∠E=x，
∴∠ABD=∠E+∠BDE=2x，∠ACB=∠ABC=3x；
∵BC為⊙O₂直徑，
∴∠DBC+∠C=4x=90°，
∴∠A=180°-6x=45°．
點評：此題考查了圓周角定理、切線的性質、三角形的外角性質、三角形內角和定理以及切線的性質等重要知識點，綜合性強，難度較大．