Question

如圖，動點P是正方形ABCD邊AB上運動（不與點A、B重合），連接PD并將線段PD繞點P順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，PE交邊BC于點F，連接BE、DF．
（1）求證：∠ADP=∠EPB．
（2）若正方形ABCD邊長為4，點F能否為邊BC的中點？如果能，請你求出AP的長；如果不能，請說明理由．
（3）當(dāng)的值等于多少時，△PFD∽△BFP？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)∠ADP與∠EPB都是∠APD的余角，根據(jù)同角的余角相等，即可求證；
（2）假設(shè)F為BC的中點，且正方形邊長為4，求出FB=2，再由（1）得出的∠ADP=∠EPB，加上一對直角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△PAD和△PFB相似，由相似得比例，將各自的值代入得出關(guān)于AP的方程，求出根的判別式小于0，得到此方程無解，故F不能為BC的中點；
（3）這兩個三角形是直角三角形，若相似，則對應(yīng)邊的比相等，即可求得的值．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；

（2）解：假設(shè)F為BC的中點，可得BF=CF=BC=2，
∵∠ADP=∠EPB，∠A=∠ABC=90°，
∴△ADP∽△BPF，
∴=，即=，
整理得：AP²-4AP+8=0，
∵b²-4ac=16-32=-16＜0，
∴此方程無解，
則點F不能為邊BC的中點；

（3）解：當(dāng)=時，△PFD∽△BFP，理由為：
設(shè)AD=AB=a，則AP=PB=a，
∴BF=BP•=a，
∴PD==a，PF==a，
∴==，
又∵∠DPF=∠PBF=90°，
∴△PFD∽△BFP．
點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，以及三角形相似的判定與性質(zhì)，是一道相似形綜合題．正確探究三角形相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．