Question

（2013•晉江市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一動(dòng)直線l從y軸出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸向右平移，直線l與直線y=x相交于點(diǎn)P，以O(shè)P為半徑的⊙P與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B．設(shè)直線l的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）填空：當(dāng)t=1時(shí)，⊙P的半徑為

2

，OA=

2

，OB=

2

；
（2）若點(diǎn)C是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且以點(diǎn)O、P、C、B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．
①請你直接寫出所有符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)；（用含t的代數(shù)式表示）
②當(dāng)點(diǎn)C在直線y=x上方時(shí)，過A、B、C三點(diǎn)的⊙Q與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，連接DC、DA，試判斷△DAC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)求解；
（2）①本問關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形，總共有3種情況，如答圖1所示，注意不要遺漏；
②關(guān)鍵點(diǎn)在于：首先，本問的圖形比較復(fù)雜，需正確作出圖形；其次，找到線段CD與AD之間的關(guān)聯(lián)，這就是Rt△DCE∽R(shí)t△ADO，通過計(jì)算可知其相似比為1，即兩個(gè)三角形全等，從而得到CD=AD，△DAC為等腰直角三角形；
本問符合條件的點(diǎn)C有2個(gè)，因此存在兩種情形，分別如答圖2和答圖3所示，注意不要遺漏．

解答：解：（1）

2

，OA=2，OB=2； …（3分）

（2）符合條件的點(diǎn)C有3個(gè)，如圖1．
連接PA，∵∠AOB=90°，由圓周角定理可知，AB為圓的直徑，點(diǎn)A、P、B共線．
∵圓心P在直線y=x上，∴∠POA=∠POB=45°，
又∵PO=PA=PB，∴△POB與△POA均為等腰直角三角形．
設(shè)動(dòng)直線l與x軸交于點(diǎn)E，則有E（t，0），P（t，t），B（0，2t）．
∵OBPC₁為平行四邊形，∴C₁P=OB=2t，C₁E=C₁P+PE=2t+t=3t，
∴C₁（t，3t）；
同理可求得：C₃（t，-t）；
∵OPBC₂為平行四邊形，且PB=PO，∠OPB=90°，
∴?OPBC₂為正方形，其對角線OB位于y軸上，則點(diǎn)P與點(diǎn)C₂關(guān)于x軸對稱，
∴C₂（-t，t）；
∴符合條件的點(diǎn)C有3個(gè)，分別為C₁（t，3t）、C₂（-t，t）、C₃（t，-t）；…（7分）

（3）△DAC是等腰直角三角形．理由如下：
當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，如圖2，連接DA、DC、PA、AC．
由（2）可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，3t），由點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，t），點(diǎn)A坐標(biāo)為（2t，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2t），
可知OA=OB=2t，△OAB是等腰直角三角形，
又PO=PB，進(jìn)而可得△OPB也是等腰直角三角形，則∠POB=∠PBO=45°．
∵∠AOB=90°，∴AB為⊙P的直徑，∴A、P、B三點(diǎn)共線，
又∵BC∥OP，∴∠CBE=∠POB=45°，
∴∠ABC=180°-∠CBE-∠PBO=90°，
∴AC為⊙Q的直徑，∴DA⊥DC…（9分）
∴∠CDE+∠ADO=90°
過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，則有∠DCE+∠CDE=90°，∴∠ADO=∠DCE，
∴Rt△DCE∽R(shí)t△ADO，
∴

EC

OD

=

DE

AO

，即

t

OD

=

3t-OD

2t

，
解得OD=t或OD=2t
依題意，點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合，∴舍去OD=2t，只取OD=t，
∴

EC

OD

=1，即相似比為1，此時(shí)兩個(gè)三角形全等，則DC=AD，
∴△DAC是等腰直角三角形．…（11分）
當(dāng)點(diǎn)C在第二象限時(shí)，如圖3，同上可證△DAC也是等腰直角三角形． …（12分）
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)C在直線y=x上方時(shí)，△DAC必為等腰直角三角形．…（13分）

點(diǎn)評：本題是代數(shù)幾何綜合題，綜合考查了圓、一次函數(shù)、平行四邊形、正方形、等腰直角三角形、相似三角形、全等三角形等知識(shí)點(diǎn)，圖形復(fù)雜，難度較大，對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求很高．本題容易失分之處在于：其一，（2）①問中有三種情形，（2）②問中有兩種情形，學(xué)生容易遺漏；其二，（2）②問中找不到線段AD與CD之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系（Rt△DCE∽R(shí)t△ADO），從而無從判斷△DAC的形狀．