Question

（2007•安徽）如圖1，在四邊形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均為銳角，點P是對角線BD上的一點，PQ∥BA交AD于點Q，PS∥BC交DC于點S，四邊形PQRS是平行四邊形．
（1）當點P與點B重合時，圖1變?yōu)閳D2，若∠ABD=90°，求證：△ABR≌△CRD；
（2）對于圖1，若四邊形PRDS也是平行四邊形，此時，你能推出四邊形ABCD還應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

【答案】分析：（1）可先證CR⊥BD，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，求得∠BCR=∠DCR，進而求得∠BAR=∠DCR，又有AB=CR，AR=BC=CD，可證△ABR≌△CRD；
（2）由PS∥QR，PS∥RD知，點R在QD上，故BC∥AD．又由AB=CD知∠A=∠CDA因為SR∥PQ∥BA，所以∠SRD=∠A=∠CDA，從而SR=SD．由PS∥BC及BC=CD知SP=SD．而SP=DR，所以SR=SD=RD故∠CDA=60度．因此四邊形ABCD還應(yīng)滿足BC∥AD，∠CDA=60°
解答：（1）證明：∵∠ABD=90°，AB∥CR，
∴CR⊥BD．
∵BC=CD，
∴∠BCR=∠DCR．
∵四邊形ABCR是平行四邊形，
∴∠BCR=∠BAR．
∴∠BAR=∠DCR．
又∵AB=CR，AR=BC=CD，
∴△ABR≌△CRD．

（2）解：由PS∥QR，PS∥RD知，點R在QD上，
故BC∥AD．
又由AB=CD知∠A=∠CDA，
因為SR∥PQ∥BA，
所以∠SRD=∠A=∠CDA，從而SR=SD．
由PS∥BC
∴△DCB∽△DSP，
∵BC=CD，
∴SP=SD．而SP=DR，
所以SR=SD=RD，
故∠CDA=60°．
因此四邊形ABCD還應(yīng)滿足BC∥AD，∠CDA=60°．
（注：若推出的條件為BC∥AD，∠BAD=60°或BC∥AD，∠BCD=120°等亦可．）
點評：三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．