Question

如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．

（1）圖2中的陰影部分的面積為

（b-a）²

；
（2）觀察圖2請(qǐng)你寫出 （a+b）²、（a-b）²、ab之間的等量關(guān)系是

（a+b）²-（a-b）²=4ab

；
（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，若x+y=5，x•y=

9

4

，則x-y=

±4

；
（4）實(shí)際上通過計(jì)算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式．如圖3，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（a+b）•（3a+b）=3a²+4ab+b²

．

Answer 1

分析：（1）陰影部分為邊長(zhǎng)為（b-a）的正方形，然后根據(jù)正方形的面積公式求解；
（2）在圖2中，大正方形有小正方形和4個(gè)矩形組成，則（a+b）²-（a-b）²=4ab；    
（3）由（2）的結(jié)論得到（x+y）²-（x-y）²=4xy，再把x+y=5，x•y=

9

4

得到（x-y）²=16，然后利用平方根的定義求解；
（4）觀察圖形得到邊長(zhǎng)為（a+b）與（3a+b）的矩形由3個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形、4個(gè)邊長(zhǎng)為a、b的矩形和一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形組成，則有（a+b）•（3a+b）=3a²+4ab+b²．

解答：解：（1）陰影部分為邊長(zhǎng)為（b-a）的正方形，所以陰影部分的面積（b-a）²；
（2）圖2中，用邊長(zhǎng)為a+b的正方形的面積減去邊長(zhǎng)為b-a的正方形等于4個(gè)長(zhǎng)寬分別a、b的矩形面積，
所以（a+b）²-（a-b）²=4ab；    
（3）∵（x+y）²-（x-y）²=4xy，
而x+y=5，x•y=

9

4

，
∴5²-（x-y）²=4×

9

4

，
∴（x-y）²=16，
∴x-y=±4；
（4）邊長(zhǎng)為（a+b）與（3a+b）的矩形面積為（a+b）（3a+b），它由3個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形、4個(gè)邊長(zhǎng)為a、b的矩形和一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形組成，
∴（a+b）•（3a+b）=3a²+4ab+b²．
故答案為（b-a）²；（a+b）²-（a-b）²=4ab；±4；（a+b）•（3a+b）=3a²+4ab+b²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了完全平方公式的幾何背景：利用面積法證明完全平方公式（a-b）2=a²-2ab+b²．