Question

【題目】如圖所示，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸交于、兩點(diǎn)，且，與軸交于點(diǎn)．

求拋物線的函數(shù)解析式；

求的面積；

能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點(diǎn)，使的面積最大？若能，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)是．

【解析】

(1)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得a、b、c的值,即可解題;
(2)易求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo),即可求得OC的長,即可求得的面積,即可解題;
(3)作PE⊥x軸于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,可將的面積轉(zhuǎn)化為和的面積之和,而這兩個(gè)三角形有共同的底PF,這一個(gè)底上的高的和又恰好是A、C兩點(diǎn)間的距離,因此若設(shè)設(shè)E(x，0),則可用x來表示的面積,得到關(guān)于x的一個(gè)二次函數(shù),求得該二次函數(shù)最大值,即可解題.

設(shè)此函數(shù)的解析式為，

∵函數(shù)圖象頂點(diǎn)為，

∴，

又∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，

∴

解得，

∴此函數(shù)的解析式為，即；

∵點(diǎn)是函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，

又當(dāng)時(shí)，有，

解得，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，

則；

假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

設(shè)，則，

設(shè)直線的解析式為，

∵直線過點(diǎn)，，

∴，

解得，

∴直線的解析式為，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則，

∴

，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是．