Question

如圖，平面上一點(diǎn)P從點(diǎn)M（，1）出發(fā)，沿射線OM方向以每秒1個單位長度的速度作勻速運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，以O(shè)P為對角線的矩形OAPB的邊長OA：OB=1：；過點(diǎn)O且垂直于射線OM的直線l與點(diǎn)P同時出發(fā)，且與點(diǎn)P沿相同的方向、以相同的速度運(yùn)動．
（1）在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，試判斷AB與y軸的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）設(shè)點(diǎn)P與直線l都運(yùn)動了t秒，求此時的矩形OAPB與直線l在運(yùn)動過程中所掃過的區(qū)域的重疊部分的面積S．（用含t的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）證AB與y軸平行，可根據(jù)OA：OB的值得出特殊角的度數(shù)，然后利用矩形的性質(zhì)：對角線互相平分且相等，得出∠MOB=∠ABO=30°，根據(jù)M點(diǎn)的坐標(biāo)可得出∠MOS=30°，即∠BOS=60°由此可證得AB⊥x軸即AB∥y軸．
（2）先找出關(guān)鍵時刻的t的值．OM=2，因此PO=2+t．
當(dāng)l與AD重合時，此時OC=OD=t，即t=OA=OP=（2+t）
當(dāng)l與BE重合時，OC=OE=t，EP=OD=（2+t），因此OE=t=（2+t）
因此本題可分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)0＜t≤（2+t），即0＜t≤時，此時直線l在OD上運(yùn)動，掃過部分是個直角三角形，此時OC=t，易求得直角三角形的兩條直角邊分別為t和2t，由此可求出掃過部分的面積．
②當(dāng)（2+t）＜t≤（2+t），即＜t≤6時，掃過部分是個直角梯形．可根據(jù)CE的長求出梯形的上底，進(jìn)而求出梯形的面積．
③當(dāng)t＞（2+t）即t＞6時，重合部分是個多邊形，可用矩形的面積減去右邊的小三角形的面積進(jìn)行求解．
解答：解：（1）AB∥y軸．
理由：∵Rt△OAB中，tan∠ABO=OA：OB=1：，
∴∠ABO=30°，
設(shè)AB交OP于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)S，
∵矩形的對角線互相平分且相等，則QO=QB，
∴∠QOB=30°，
過點(diǎn)M作MT⊥x軸于T，則tan∠MOT=1：，
∴∠MOT=30°，
∴∠BOS=60°，
∴∠BSO=90°，
∴AB∥y軸；

（2）過點(diǎn)A作垂直于射線OM的直線交OM于點(diǎn)D，過點(diǎn)B且垂直于射線OM的直線交OM于點(diǎn)E，

則OD=t．
∵OP=2+t，
∴OB=（2+t），OE=（2+t），OA=（2+t），OD=（2+t），
①當(dāng)0＜t≤（2+t），即0＜t≤時，S=t²，
②當(dāng)（2+t）＜t≤（2+t）即＜t≤6時，
設(shè)直線l交OB于F，交PA于G，交OP于點(diǎn)C，
則OF=t，PG=CP=，
∴AG=PA-=t-，S=（t-+t）•（2+t）=t²+t-．
③當(dāng)t＞（2+t）即t＞6時，
∵CP=2，
∴S=S_矩形-×4×=（2+t）×（2+t）-=t²+t-．
點(diǎn)評：本題是運(yùn)動性問題，考查了矩形的性質(zhì)和圖形面積的求法，找出幾個關(guān)鍵點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．