Question

19．已知，點M是二次函數(shù)y=ax²（a＞0）圖象上的一點，點F的坐標為（0，$\frac{1}{4a}$），直角坐標系中的坐標原點O與點M，F(xiàn)在同一個圓上，圓心Q的縱坐標為$\frac{1}{8}$．
（1）求a的值；
（2）當O，Q，M三點在同一條直線上時，求點M和點Q的坐標；
（3）當點M在第一象限時，過點M作MN⊥x軸，垂足為點N，求證：MF=MN+OF．

Answer 1

分析 （1）設(shè)Q（m，$\frac{1}{8}$），F(xiàn)（0，$\frac{1}{4a}$），根據(jù)QO=QF列出方程即可解決問題．
（2）設(shè)M（t，t²），Q（m，$\frac{1}{8}$），根據(jù)K_OM=K_OQ，求出t、m的關(guān)系，根據(jù)QO=QM列出方程即可解決問題．
（3）設(shè)M（n，n²）（n＞0），則N（n，0），F(xiàn)（0，$\frac{1}{4}$），利用勾股定理求出MF即可解決問題．

解答 解：（1）∵圓心Q的縱坐標為$\frac{1}{8}$，
∴設(shè)Q（m，$\frac{1}{8}$），F(xiàn)（0，$\frac{1}{4a}$），
∵QO=QF，
∴m²+（$\frac{1}{8}$）²=m²+（$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{4a}$）²，
∴a=1，
∴拋物線為y=x²．
（2）∵M在拋物線上，設(shè)M（t，t²），Q（m，$\frac{1}{8}$），
∵O、Q、M在同一直線上，
∴K_OM=K_OQ，
∴$\frac{{t}^{2}}{t}$=$\frac{\frac{1}{8}}{m}$，
∴m=$\frac{1}{8t}$，
∵QO=QM，
∴m²+（$\frac{1}{8}$）²=（m-t）²=（$\frac{1}{8}$-t²）²，
整理得到：-$\frac{1}{4}$t²+t⁴+t²-2mt=0，
∴4t⁴+3t²-1=0，
∴（t²+1）（4t²-1）=0，
∴t₁=$\frac{1}{2}$，t₂=-$\frac{1}{2}$，
當t₁=$\frac{1}{2}$時，m₁=$\frac{1}{4}$，
當t₂=-$\frac{1}{2}$時，m₂=-$\frac{1}{4}$．
∴M₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），Q₁（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$），M₂（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），Q₂（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$）．
（3）設(shè)M（n，n²）（n＞0），
∴N（n，0），F(xiàn)（0，$\frac{1}{4}$），
∴MF=$\sqrt{{n}^{2}+（{n}^{2}-\frac{1}{4}）^{2}}$=$\sqrt{（{n}^{2}+\frac{1}{4}）^{2}}$=n²+$\frac{1}{4}$，MN+OF=n²+$\frac{1}{4}$，
∴MF=MN+OF．

點評 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、三點共線的條件、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是設(shè)參數(shù)解決問題，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考�？碱}型．