Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，AE=16，sin∠B=．求：
（1）BC的長(zhǎng)；
（2）求∠ADE的正切值．

Answer 1

解：（1）∵∠ACB=90°，
∴AC⊥CD．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴∠ADC=∠ADE，
∴AC=AE=16，
在Rt△ABC中，sin∠B==，
∴AB=20，
∴BC===12．

（2）∵AB=20，AE=16，
∴BE=4．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠DEB=∠ACB=90°．
又∵∠DBE=∠ABC，
∴△DBE∽△ABC，
∴．
∴．
解得：DE=，
Rt△ADE中，tan∠ADE===3．
∴tan∠ADE=3．
分析：（1）由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，利用角平分線的性質(zhì)，可得AC=AE=16，又由sin∠B=，即可求得AB的長(zhǎng)，然后利用勾股定理，即可求得BC的長(zhǎng)；
（2）易證得△DBE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可求得DE的長(zhǎng)，繼而可求得∠ADE的正切值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的定義．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．