Question

1．綜合與探究：如圖，直線y=-$\frac{3}{4}$x+3與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BA邊向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以相同的速度從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)沿OB邊向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)△OPQ的面積為S，求S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，P，Q，N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，求t的值并直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）對(duì)于直線解析式，分別令x與y為0求出對(duì)應(yīng)y與x的值，即可求出A與B坐標(biāo)；
（2）如圖1所示，過(guò)P作PH垂直于x軸，由題意求出OQ=BP=1，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出sin∠ABO的值，根據(jù)BP=t表示出PH，分情況分類討論表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，P，Q，N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，分三種情況考慮：①如圖2所示，當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，∠BPQ=∠AOB=90°；②如果∠PAQ=90°；③如果∠AQP=90°，當(dāng)Q與O重合時(shí)，t=0，此時(shí)N坐標(biāo)為（4，3），分別求出t的值，進(jìn)而相應(yīng)求出N的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）對(duì)于直線y=-$\frac{3}{4}$x+3，
令x=0，得到y(tǒng)=3；令y=0，得到x=4，
∴A（0，3），B（4，0）；
（2）如圖1所示，過(guò)P作PH⊥x軸于H，

由題意得：OQ=BP=t，
由題意得：OA=3，OB=4，
在Rt△ABO中，∠AOB=90°，
根據(jù)勾股定理得：AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴sin∠ABO=$\frac{3}{5}$，
在Rt△PHB中，∠PHB=90°，BP=t，
∴PH=BPsin∠ABO=$\frac{3}{5}$t，
當(dāng)0≤t＜4時(shí)，S=$\frac{1}{2}$×OQ×PH=$\frac{1}{2}$×t×$\frac{3}{5}$t=$\frac{3}{10}$t²；
當(dāng)4≤t＜5時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，OQ=OB=4，PH=$\frac{3}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$×OQ×PH=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{5}$t=$\frac{6}{5}$t，
綜上，S與t的函數(shù)解析式為S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{10}{t}^{2}（0≤t＜4）}\\{\frac{6}{5}t（4≤t≤5）}\end{array}\right.$；
（3）存在以點(diǎn)A，P，Q，N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，
①如圖2所示，當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，∠BPQ=∠AOB=90°，

由（2）得：cos∠PBQ=$\frac{BP}{BQ}$，即$\frac{t}{4-t}$=$\frac{4}{5}$，
解得：t=$\frac{16}{9}$，此時(shí)N坐標(biāo)為（-$\frac{4}{5}$，$\frac{29}{15}$）；
②如果∠PAQ=90°，
∵∠OAB為銳角，∠PAQ＜∠OAB，
∴不成立，∠PAQ≠90°；
③如果∠AQP=90°，當(dāng)Q與O重合時(shí)，t=0，此時(shí)N坐標(biāo)為（4，3），
當(dāng)0＜t≤5時(shí)，如圖3所示，過(guò)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，

由①得：MB=$\frac{4}{5}$t，
∴QM=OB-OQ-BM=4-$\frac{9}{5}$t，
∵∠AOQ=∠QMP=∠AQP=90°，
∴∠OAQ=∠MQP，
∴Rt△AOQ∽R(shí)t△QMP，
∴$\frac{AO}{QM}$=$\frac{OQ}{PM}$，
即$\frac{3}{4-\frac{9}{5}t}$=$\frac{t}{\frac{3}{5}t}$，
解得：t=$\frac{11}{9}$，此時(shí)N坐標(biāo)為（$\frac{9}{5}$，$\frac{56}{15}$），
綜上所述，當(dāng)t的值為0，$\frac{16}{9}$，$\frac{11}{9}$時(shí)，以點(diǎn)A，P，Q，N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為（4，3），（-$\frac{4}{5}$，$\frac{29}{15}$），（$\frac{9}{5}$，$\frac{56}{15}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．