如圖.已知AB是⊙O的直徑.C是⊙O上一點(diǎn),直線CE與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,AD⊥CE于點(diǎn)D,AD交⊙O于點(diǎn)F.AC平分∠DAE.
(1)求證:CE是⊙O的切線.
(2)若DC+DF=6.⊙O的直徑為10,求AF的長(zhǎng).

(1)證明:連接OC,
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAO,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠CAO,
∴∠DAC=∠OCA,
∴OC∥AD,
∵AD⊥DE,
∴OC⊥DE,
∵OC為半徑,
CE是⊙O的切線;

(2)解:設(shè)DC=x.則DF=6-x,過(guò)O作OH⊥AD于H,
∵AD⊥DE,OC⊥DE,
∴∠OHD=∠D=∠OCD=90°,
∴四邊形OHDC是矩形,
∴DH=OC=5,F(xiàn)H=5-(6-x)=x-1,
∵OH⊥AF,
∴AH=FH=x-1,
在Rt△AOH中,AO2=AH2+HO2,
∴52=(x-1)2+x2,
x=4,x=-3(不符合題意舍去),
∴AF=2FH=2(4-1)=6.
分析:(1)求出∠DAC=∠CAO,∠OCA=∠CAO,推出∠DAC=∠OCA,得出OC∥AD,求出OC⊥DE,根據(jù)切線的判定推出即可;
(2))設(shè)DC=x.則DF=6-x,過(guò)O作OH⊥AD于H,得出四邊形OHDC是矩形,推出DH=OC=5,F(xiàn)H=x-1,求出AH=FH=x-1,在Rt△AOH中,根據(jù)勾股定理得出52=(x-1)2+x2,求出x=4,代入AF=2FH求出即可.
點(diǎn)評(píng):本題考查了垂徑定理,勾股定理,切線的性質(zhì)和判定,平行線的性質(zhì)和判定,等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DC=AC,∠ACD=120°,BD=10.
(1)判斷DC是否為⊙O的切線,并說(shuō)明理由;
(2)求扇形BOC的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點(diǎn),∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D,交⊙O的切線BE于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若DF=3,DE=2
①求
BEAD
值;
②求圖中陰影部分的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•泰安)如圖,已知AB是⊙O的直徑,AD切⊙O于點(diǎn)A,點(diǎn)C是
EB
的中點(diǎn),則下列結(jié)論不成立的是( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知AB是⊙O的直徑,P為⊙O外一點(diǎn),且OP∥BC,∠P=∠BAC.
求證:PA為⊙O的切線.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知AB是圓O的直徑,∠DAB的平分線AC交圓O與點(diǎn)C,作CD⊥AD,垂足為點(diǎn)D,直線CD與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.
(1)求證:直線CD為圓O的切線.
(2)當(dāng)AB=2BE,DE=2
3
時(shí),求AD的長(zhǎng).

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